الارتباط

=أهلاً بك يا تاج الأصفياء. بناءً على ملف المحاضرة المرفق، قمت بتلخيص المحتوى لك في شكل “دفتر مذاكرة” منظم وجاهز. هذا الملخص يجمع القوانين، التعاريف، والواجبات المطلوبة في مكان واحد ليسهل عليك المراجعة قبل الامتحان.

---

📝 دفتر مذاكرة: الإحصاء والاحتمالات (الارتباط والانحدار)

الموضوع: الارتباط (Correlation)

المحاضر: د. محمد فطور زيد 1

---

1. المفاهيم الأساسية (Definitions)

• الارتباط: هو قياس قوة العلاقة بين متغيرين:

  • $x$: المتغير المستقل (المؤثر)2222.

    +1

  • $y$: المتغير التابع (النتيجة)3.

• الهدف منه: التنبؤ والتخطيط (نعرف التغير في $x$ لنتوقع ماذا سيحدث في $y$)4.

• شكل الانتشار (Scatter Plot): هو الرسم البياني للنقاط؛ إذا كانت النقاط على خط مستقيم، فالارتباط تام ($1$ أو $-1$)5555.

  +1

---

2. مقياس الارتباط (The Scale)

يتم قياس الارتباط برقم ($r$) يتراوح دائماً بين **$-1$ و $1$**6.

قيمة r	نوع العلاقة	التفسير
$1$	طردي تام (Perfect Positive)	7
$-1$	عكسي تام (Perfect Negative)	8
$0$	لا يوجد ارتباط (No Correlation)	9
$0.5$ إلى $1$	طردي قوي	كلما اقترب من 1 زادت القوة101010. +1
$-1$ إلى $-0.5$	عكسي قوي	كلما اقترب من -1 زادت القوة11.
أقل من $0.5$	ضعيف	كلما اقترب من الصفر ضعف الارتباط12.

💡 قاعدة ذهبية: تزداد قوة الارتباط كلما اقتربنا من الأطراف (1 أو -1)، وتقل كلما اقتربنا من الصفر13.

---

3. قوانين الحساب (Formulas)

أ) معامل ارتباط بيرسون ($r_b$) - للأرقام الدقيقة

يستخدم “ارتباط العزوم” وهو الأقوى14.

القانون الأول (الانحرافات):

$r_b=\frac{\Sigma ((x-\overline{x})(y-\overline{y}))}{n.\delta x.\delta y}$

• حيث $\overline{x},\overline{y}$: الوسط الحسابي151515.

  +1

• حيث $\delta x,\delta y$: الانحراف المعياري16.

• قوانين الانحراف المعياري: $\delta x=\sqrt{\frac{\Sigma x^2}{n}-{\overline{x}}^2}$ 17.

القانون الثاني (القيم المباشرة):

$r_b=\frac{\Sigma x.y-n\overline{x}.\overline{y}}{\sqrt{\Sigma x^2-n.{\overline{x}}^2}.\sqrt{\Sigma y^2-n.{\overline{y}}^2}}$

18 (تم تعديل الصيغة لتتضح بناءً على السياق الرياضي في الملف).

---

ب) معامل ارتباط سبيرمان ($r_s$) - للرتب (Ranks)

يستخدم إذا كانت البيانات عبارة عن رتب (ترتيب) أو قيم غير دقيقة19.

القانون:

$r_s=1-\frac{6.\Sigma f^2}{n(n^2-1)}$

• $f$: الفرق بين رتبة $x$ ورتبة $y$ (أي: Rank x - Rank y)20202020.

  +1

• $n$: عدد الأزواج (عدد البيانات)21.

⚠️ تنبيه هام في سبيرمان:

إذا تكررت الأرقام (مثلاً طالبين حصلوا على 150)، نأخذ متوسط الترتيب لهما.

مثال: لو الترتيب الثالث والرابع نفس القيمة $\to$ الرتبة تكون $\frac{3+4}{2}=3.5$ لكل منهما22.

---

4. أمثلة محلولة للمراجعة

1. مثال بيرسون:

   • البيانات: قيم صغيرة (1, 2, 3…) وقيم سالبة.

   • النتيجة: $r=-0.95$23.

   • التعليق: ارتباط عكسي قوي24.

2. مثال سبيرمان:

   • البيانات: قيم كبيرة وعشوائية تم تحويلها لرتب.

   • النتيجة: $r=0.963$25.

   • التعليق: ارتباط طردي قوي26.

---

5. 🛑 الواجبات المطلوبة (Homework)

بناءً على المحاضرة، مطلوب منك حل التالي:

1. واجب بيرسون: حل “مثال 1” (صفحة 11) باستخدام قانون بيرسون الثاني، ثم علق على النتيجة27.

2. واجب سبيرمان: حل “مثال 2” (صفحة 14) باستخدام قانون بيرسون (الأول والثاني)، ثم علق على النتيجة28.

---

هل تريد أن أبدأ معك بحل الواجب الأول (قانون بيرسون الثاني) الآن؟=