التروس 1

You Asked:

يلا انا داير اقرا الباب دا ودايرك تشرح لي شرح حمير . يلا ارح نبدا بي اول عنوان في الباب

Gemini Responded:

أبشر يا هندسة، ولا يهمك. نشرح ليك الموضوع “شرح حمير” زي ما طلبت (بالمصطلح السوداني الدارج يعني شرح مبسط جداً ومن الصفر) 😄.

[cite_start]الباب دا بتكلم عن التروس الأسطوانية العدلة (Spur Gearing)[cite: 2, 3]. دي أبسط نوع تروس، السنون حقتها مستقيمة، زي التروس البتلقاها في العربات اللعب القديمة أو ساعات الحائط.

أرح نمسك أول عنوان:

[cite_start]١-١١ تعاريف (Definitions) [cite: 4, 5]

هنا داير يوريك “المصطلحات” البنتعامل بيها عشان لما نمشي قدام في المعادلات ما تتلخبط.

1. الكبير والصغير (The Wheel & The Pinion): لما يكون عندنا ترسين معشقات مع بعض:

• الكبير: بنسميهو “العجلة المسننة” (Wheel). [cite_start]عشان هو “كبير ومحترم” بنديهو حروف كبيرة (Capital Letters) في القوانين، زي ($D$) للقطر، و($T$) لعدد الأسنان[cite: 6].
• الصغير: بنسميهو “الترس الأصغر” (Pinion). [cite_start]ودا بنديهو حروف صغيرة (Small Letters)، زي ($d$) للقطر، و($t$) لعدد الأسنان[cite: 6, 7].

---

2. [cite_start]أقطار دائرة الخطوة (Pitch Circle Diameters - D, d): [cite: 8, 9]

• بالفهم البسيط: تخيل الترسين ديل ما فيهم سنون، عبارة عن “أسطوانات ملساء” (زي كفرات) لافين مع بعض بالاحتكاك. الدائرة الوهمية اللي بتمس بعض دي بنسميها “دائرة الخطوة”.
• القانون المهم هنا: العلاقة بين السرعة والقطر عكسية. الترس الصغير بلف أسرع، والكبير بلف أبطأ. $\frac{\Omega }{\omega }=\frac{d}{D}=\frac{t}{T}$ [cite_start][cite: 11]
  • $\Omega$: سرعة الكبير.
  • $\omega$: سرعة الصغير.
  • $D,d$: الأقطار.
  • $T,t$: عدد الأسنان.

---

3. [cite_start]الخطوة الدائرية (Circular Pitch - $p$): [cite: 14, 15]

• [cite_start]يعني شنو؟: دي المسافة القوسية (يعني ماشة مع الكيرف) من نقطة على سنة معينة، لحدي نفس النقطة في السنة البعدها[cite: 16, 17]. يعني كأنك بتقيس “عرض السنة + عرض الفراغ الجمبها”.
• قانونها: محيط الدائرة ($\pi D$) مقسوم على عدد الأسنان ($T$). $p=\frac{\pi D}{T}=\frac{\pi d}{t}$ [cite_start][cite: 19]

---

خلاصة الجزء دا: يا هندسة الموضوع كله: الكبير حروفه كبيرة، الصغير حروفه صغيرة. ودائرة الخطوة دي “الخط الوهمي” البيحصل فيهو نقل الحركة، والخطوة الدائرية هي المسافة بين كل سنة وأختها.

نجي للصفحة البعدها (باقي التعاريف المهمة زي المديول وغيره) ولا لسة في شي ما وقع ليك هنا؟

---

You Asked:

العنوان اللي بعدو بنفس الطريقة

Gemini Responded:

تمام يا هندسة، نواصل في باقي التعاريف في صفحة (2). ركز معاي هنا شديد، لأن المصطلحات الجاية دي هي “لغة التفاهم” لما تجي تصمم أو تخرط أي ترس.

٤- الخطوة القطرية (Diametral Pitch - P)

• بالبلدي: دي بتوريك “الزحمة” قدر شنو. [cite_start]يعني في كم سِنة قاعدة في كل مليمتر (أو بوصة) من القطر[cite: 32].
• القانون: عدد الأسنان مقسوم على القطر. $P=\frac{T}{D}=\frac{t}{d}$ [cite_start][cite: 35]
• علاقتها باللي قبلها: هي عكس الخطوة الدائرية ($p$) لكن مضروبة في $\pi$. [cite_start]يعني $P=\frac{\pi }{p}$[cite: 35].

---

٥- المديول (Module - m) - (دا أهم واحد!)

• شرحه: دا عكس الفوق. [cite_start]دا بقول ليك: “كل سِنة شايلة كم مليمتر من القطر؟“[cite: 36].
• أهميته: في السوق وفي التصنيع، بنقول “الترس دا مديول 4” أو “مديول 2”. عشان تعشق ترسين مع بعض، لازم يكون عندهم نفس المديول، لو المديول اختلف السنون ما بتركب في بعض نهائي.
• القانون: القطر مقسوم على عدد الأسنان (عكس الـ P). $m=\frac{D}{T}=\frac{d}{t}$ [cite_start][cite: 39]

---

٦- تشريح السِنة (أجزاء السِنة)

تخيل معاي شكل السِنة، وعندنا “دائرة الخطوة” (Pitch Circle) دي هي الخط الوهمي القاطع السِنة في النص (زي الحزام كدا):

1. دائرة الأساس (Base Circle):

   • [cite_start]دي الدائرة “الساس” اللي بنبدأ نرسم منها القوس بتاع السِنة (الكيرف اللي اسمه Involute)[cite: 43]. تحت الدائرة دي، شكل السِنة ما بكون قوس منتظم.

2. طرف السِنة (Addendum):

   • دا الجزء “الظاهر فوق”. [cite_start]المسافة من دائرة الخطوة (الحزام) لحدي قمة السِنة فوق[cite: 46].

3. جذر السِنة (Dedendum):

   • دا الجزء “المغروس تحت”. [cite_start]المسافة من دائرة الخطوة (الحزام) ونزولاً لحدي قاع الفراغ بين السنون[cite: 49].

4. عمق التشغيل (Working Depth):

   • لما ترسين يخشوا في بعض، السنون ما بتصل للنهاية (عشان ما تحك في القاع). [cite_start]عمق التشغيل هو المسافة اللي بيحصل فيها تلامس فعلي، وبيساوي مجموع “أطراف” السنتين (Addendums)[cite: 51].

---

٧- زاوية الضغط (Pressure Angle - $\psi$)

• شرحه: لما سِنة تضرب سِنة تانية عشان تدفرها، القوة ما بتكون ماشة سيدة (أفقية)، بتكون مايلة شوية بزاوية.
• [cite_start]التعريف العلمي: هي الزاوية المحصورة بين “خط العمل” (العمود المشترك) وبين المماس المشترك للدوائر[cite: 56].
• [cite_start]في السوق: الزوايا دي ستاندرد، غالباً بتكون $20^{\circ }$ (وفي القديم كانت $14.5^{\circ }$)[cite: 72].

---

خلاصة الصفحة دي: يا مَعلم، أهم شي تطلع بيهو هو المديول ($m$) وقانونه ($D/T$)، وأن السِنة مقسومة نصين: نص فوق (Addendum) ونص تحت (Dedendum).

أرح نمشي للصفحة 3 نشوف “الأرقام القياسية” (Standard Proportions) ونشوف القوانين بتبقى كيف بالأرقام؟

---

You Asked:

العنوان اللي بعدو

Gemini Responded:

تمام، نمشي للصفحة التالتة. هنا الموضوع مقسوم لجزئين: جزء “وصفة جاهزة” (أرقام قياسية)، وجزء “قانون فيزياء” (شرط الحركة).

١- النسب القياسية (Standard Proportions)

[cite_start]هنا بقول ليك: يا هندسة عشان ما نشتغل “سمك لبن تمر هندي”، الخواجات (ناس المواصفات البريطانية) اتفقوا على مقاسات ثابتة للسنون بناءً على المديول ($m$) اللي شرحناه قبيل[cite: 61, 62].

دي “الوصفة” اللي بتمشي بيها في التصميم:

1. [cite_start]طرف السِنة (Addendum): ارتفاع السِنة فوق الخط الوهمي (دائرة الخطوة) بساوي $1$ مديول ($1m$)[cite: 64, 69]. يعني لو المديول 5، الارتفاع 5 ملم.
2. جذر السِنة (Dedendum): الحفرة التحت لازم تكون أغرق شوية من طول السِنة اللي حتخش فيها (عشان ما يدقوا في بعض). [cite_start]فخلوها $1.25$ مديول ($1.25m$)[cite: 65, 70]. الربع الزايد دا “فراغ أمان” (Clearance).
3. [cite_start]عمق التشغيل (Working Depth): دا الجزء الفعلي البحصل فيه التداخل، بساوي $2$ مديول ($2m$)[cite: 66, 71].
4. [cite_start]زاوية الضغط: ثبتوها على $20$ درجة[cite: 67, 72].

---

٢- الشرط اللازم لنقل السرعة بنسبة ثابتة (Condition for Transmission of Constant Velocity Ratio)

دا عنوان يبان معقد، لكن فكرته بسيطة شديد: عشان الترسين يلفوا بنعومة من غير ما يحصل “نتلي” (يعني السرعة تزيد وتنقص فجأة أثناء اللفة الواحدة)، لازم شكل السِنة يكون مرسوم بطريقة هندسية معينة.

الشرط بيقول شنو؟ [cite_start]لو جيت عند أي لحظة تلامس بين السنتين، ورسمت خط عمودي على السطحين في نقطة التلامس (الخط دا بنسميه العمود المشترك)، الخط دا لازم ولابد يمر بـ “نقطة الخطوة P”[cite: 87].

• نقطة الخطوة P: دي النقطة اللي دائرتين الترسين بيمسوا فيها بعض (النقطة الثابتة في النص).
• لو الخط دا زاح يمين أو شمال عن النقطة P، السرعة حتتغير والتروس حتعمل صوت (طقطقة) واهتزاز.

الخلاصة: [cite_start]عشان نحقق الشرط الصعب دا، وجدوا إنو أفضل شكل هندسي للسنة هو شكل الـ Involute (المنحنى اللي بيترسم لما تفك خيط من أسطوانة)[cite: 88]. عشان كدا أغلب التروس في الدنيا سنونها Involute.

نجي للصفحة البعدها (سرعة الانزلاق)؟ دي فيها شوية حسابات.

---

You Asked:

نعم

Gemini Responded:

تمام يا هندسة، نخش في التقيل شوية، لكن برضو حنبسطو ليك “شرح حمير”. الموضوعين الجايات ديل بتكلموا عن الحركة جوة الترس.

٣-١١ سرعة الانزلاق (Velocity of Sliding)

• الفهم البلدي: لما السنون تعشق في بعض، هي ما بتدفر بعض وتجري بس، لا.. بيحصل بيناتهم “حك” أو انزلاق (Sliding). زي لما تمسح يدينك في بعض.

  • [cite_start]في نقطة الخطوة (P) (النص بالضبط): الحركة بتكون دحرجة (Rolling) صافية، يعني ماف حك، سرعة الانزلاق = صفر[cite: 119].
  • [cite_start]كل ما تبعد عن النص (تمشي لطرف السِنة فوق أو تحت للجذر): الحك بيزيد، وسرعة الانزلاق بتبقى أعلى ما يمكن عند بداية التلامس ونهايته[cite: 119].

• القانون: سرعة الانزلاق عند أي نقطة (نسميها $C$) بتساوي: $(\omega +\Omega )\times PC$

  • [cite_start]$\omega +\Omega$: مجموع السرعات الزاوية للترسين[cite: 116].
  • $PC$: بعد النقطة العايز تحسب فيها عن “نقطة الخطوة” ($P$).
  • يعني كل ما $PC$ تزيد (تبعد عن النص)، السرعة تزيد.

---

٤-١١ مسير التماس (Path of Contact)

• شرحه: تخيل إنك مركب كاميرا صغيرة في النقطة اللي بتضرب فيها السِنة السِنة التانية. النقطة دي بتمشي في خط مستقيم محدد لحد ما السنون تفك من بعض. [cite_start]الخط دا بنسميه مسير التماس[cite: 121, 123].

• بدايته ونهايته: الخط دا بيبدأ من نقطة اسمها ($A$) وينتهي في ($B$). لكن بنقسمه نصين بناءً على نقطة الخطوة ($P$) اللي في النص:

  1. ممر الاقتراب (Path of Approach - $AP$): [cite_start]دا “المشوار” من أول ما السِنة تلمس أختها لحدي ما يصلوا للنص (نقطة $P$)[cite: 124].
  2. ممر الانحسار (Path of Recess - $BP$): [cite_start]دا المشوار من النص ($P$) لحدي ما السنون تودع بعض وتفك[cite: 124].

• القوانين (شكلها يخوف لكنها فيثاغورس بس): عشان تحسب طول المسافة دي، بنستخدم أنصاف الأقطار ($R,r$) وزاوية الضغط ($\psi$).

  • طول الاقتراب ($AP$): بيعتمد على الترس الكبير ($R$): [cite_start]$AP=\sqrt{R_a^2-R^2{\cos }^2\psi }-R\sin \psi$ [cite: 127] (حيث $R_a$ هو نصف القطر الخارجي للكبير، يعني واصل لراس السِنة).

  • طول الانحسار ($BP$): بيعتمد على الترس الصغير ($r$): [cite_start]$BP=\sqrt{r_a^2-r^2{\cos }^2\psi }-r\sin \psi$ [cite: 128] (حيث $r_a$ هو نصف القطر الخارجي للصغير).

  • [cite_start]طول المسير كله ($AB$): تجمع الاتنين ديل ($AP+BP$)[cite: 129].

الخلاصة: السِنة بتبدأ تحك من بعيد (سرعة عالية)، وتجي تقرب للنص السرعة تقل لحدي الصفر، وتتخارج تاني السرعة تزيد. والمسافة دي كلها بنحسبها بقوانين الجذور الفوق دي.

أرح نمشي لـ “قوس التماس” و “التداخل” (المشاكل البتحصل)؟

---

You Asked:

نعم

Gemini Responded:

تمام، نمشي للصفحة (5) و (6). ديل فيهم “الزيت” حق التصميم، يعني كيف تضمن إن الترس شغال ناعم وما “يعض” في بعضه.

٥-١١ قوس التماس ونسبة التماس (Arc of Contact & Contact Ratio)

١. قوس التماس (Arc of Contact):

• الفهم: قبيل حسبنا “مسير التماس” (المسافة المستقيمة $AB$). قوس التماس هو نفس المسافة دي لكن مقاسة على دائرة الخطوة (يعني ماشة مع الكيرف).
• القانون: بسيط جداً. [cite_start]شيل مسير التماس (القيمة اللي حسبتها قبيل) واقسمها على “جتا” زاوية الضغط ($\cos \psi$)[cite: 148]. $\text{Arc of Contact}=\frac{\text{Path of Contact}}{\cos \psi }$

٢. نسبة التماس (Contact Ratio):

• بالبلدي: الرقم دا بيجاوب على سؤال: “في كم سِنة معشقة وشغالة مع بعض في نفس اللحظة؟”.
• [cite_start]القانون: تقسم “قوس التماس” الفوق دا على “الخطوة الدائرية” ($p$)[cite: 152, 153]. $\text{Contact Ratio}=\frac{\text{Arc of Contact}}{p}$
• الفائدة: الرقم دا لازم يكون أكبر من 1.
  • لو طلع مثلاً 1.4: معناها في 40% من الوقت في “سنتين” شغالين مع بعض، و60% من الوقت في “سنة واحدة”.
  • لو طلع أقل من 1: معناها في لحظات الترس بيفك تعشيق كلياً وبيرجع يضرب تاني (صوت طراخ طراخ)، ودا غلط كبير.

---

٦-١١ التداخل (Interference)

دا أهم موضوع في الباب، ركز يا هندسة:

• المشكلة (يعني شنو تداخل؟): عشان الترس يشتغل صح، لازم التلامس يكون في الحتة المرسومة بـ “الأنفوليوت”. [cite_start]مرات، طرف السِنة حق الترس الكبير (العجلة) بكون طويل زيادة، فبقوم “يدقر” أو يحفر في جذر سِنة الترس الصغير[cite: 163]. [cite_start]الحتة اللي تحت دي ما أنفوليوت، فلو الطرف ضرب فيها، بيقوم ينحتها أو ياكلها، ودا بنسميه “النحر” (Undercutting)[cite: 163, 164].

• وين بيحصل؟ [cite_start]غالباً بيحصل لما يكون الترس الصغير عدد أسنانه بسيط شديد، أو طرف سِنة الترس الكبير طويل زيادة[cite: 165, 166].

• كيف نمنع المصيبة دي؟ (الحل): عندنا قانون بيحسب ليك “أقصى نصف قطر مسموح بيه” لطرف الترس الكبير عشان ما يحصل تداخل.

  [cite_start]القانون شكله مخيف شوية في الصفحة (7) [cite: 178]، لكن ملخصه إنك لازم تحسب $R_a$ (نصف القطر الخارجي للكبير) بحيث ما يتجاوز حد معين.

  $R_a\le \sqrt{R^2+R^2{\sin }^2\psi (1+\frac{2r}{R}{\sin }^2\psi )}$ [cite_start](المعادلة دي للتبسيط، الشكل الكامل موجود في المصدر [cite: 178] وبيعتمد على $R$ و $r$ وزاوية الضغط).

• قانون عملي (أقل عدد أسنان): [cite_start]عشان تريح راسك، لو زاوية الضغط $20^{\circ }$، مفروض عدد أسنان الترس الصغير ما يقل عن 18 سِنة عشان تضمن إنو ما يحصل تداخل[cite: 213]. لو قل عن كدا (مثلاً 12 سِنة)، حتضطر تغير شكل السِنة أو تقصرها.

---

خلاصة الجزء دا:

1. نسبة التماس: لازم تكون أكتر من 1 عشان الحركة تكون ناعمة.
2. التداخل: دي “عضة” بتحصل لو السنون قليلة، وعلاجها إنك تكتر السنون (فوق الـ 18) أو تحسب القطر الأقصى بالقانون وتلتزم بيه.

أرح نمشي لآخر صفحة (الجريدة المسننة Rack and Pinion) والمثال المحلول؟

---

You Asked:

نعم

Gemini Responded:

تمام يا هندسة، وصلنا لآخر محطة في الباب دا: الجريدة المسننة (Rack) والمثال المحلول.

٧-١١ الجريدة المسننة والترس (Rack and Pinion)

• يعني شنو “جريدة مسننة” (Rack)؟

  • تخيل إنك جبت عجلة مسننة كبيرة شديد وكبرتها لحدي ما القطر حقها بقى “لا نهائي”. [cite_start]الدائرة حتبقى خط مستقيم[cite: 188].
  • فالجريدة المسننة (الراك) هي عبارة عن “مسطرة فيها سنون”.
  • [cite_start]شكل السِنة: لأنها خط مستقيم، جوانب السِنة ما بتكون مقوسة (Involute)، بتكون مستقيمة وعمودية[cite: 188].

• شرط عدم التداخل (عشان ما يحصل نحر):

  • برضو هنا خايفين إن طرف سِنة “المسطرة” دي يدق في جذر الترس المدور ويأكله.
  • عشان كدا، أقصى طول مسموح بيه لطرف سِنة الراك ($a$) هو: $a\le r{\sin }^2\psi$ [cite_start][cite: 209]
  • حيث $r$ نصف قطر الترس الصغير، و $\psi$ زاوية الضغط.

• أقل عدد أسنان مسموح به ($t$):

  • [cite_start]من المعادلة الفوق دي، طلعوا بقانون “ذهبي” لأقل عدد أسنان في الترس الصغير عشان يشتغل مع الراك بسلامة[cite: 211]: $t\ge \frac{2}{{\sin }^2\psi }$
  • [cite_start]لو الزاوية $14.5^{\circ }$: لازم الترس يكون فيهو 32 سِنة على الأقل[cite: 212].
  • [cite_start]لو الزاوية $20^{\circ }$ (ودي الشائعة): لازم الترس يكون فيهو 18 سِنة على الأقل[cite: 213].
  • عشان كدا في السوق، أي ترس أقل من 17 أو 18 سِنة بتلقاهم عاملين فيهو “تحوير” (Correction) عشان ما يتكسر.

---

مثال ١-١١ (تطبيق عملي بالأرقام)

دا مثال شامل (صفحة 8) بلملم ليك قوانين الباب كلها.

المعطيات:

• ترسين (واحد صغير وواحد كبير).
• [cite_start]المديول ($m$) = 4.5[cite: 218].
• [cite_start]عدد الأسنان: الصغير ($t$) = 24، الكبير ($T$) = 33[cite: 218].
• [cite_start]زاوية الضغط ($\psi$) = $20^{\circ }$[cite: 218].
• [cite_start]سرعة الصغير = 120 لفة في الدقيقة[cite: 223].
• [cite_start]طول طرف السِنة (Addendum) = 1 مديول (يعني 4.5 ملم)[cite: 219].

المطلوب:

1. طول قوس التماس (Arc of Contact).
2. أقصى سرعة انزلاق.

الحل (خطوة بخطوة):

1. نجهّز أنصاف الأقطار:

• نصف قطر دائرة الخطوة للصغير ($r$): $r=\frac{m\times t}{2}=\frac{4.5\times 24}{2}=54\text{ mm}$ [cite_start][cite: 222]
• نصف قطر دائرة الخطوة للكبير ($R$): $R=\frac{m\times T}{2}=\frac{4.5\times 33}{2}=74.25\text{ mm}$ [cite_start][cite: 222]

2. نجهّز أنصاف الأقطار الخارجية (للأطراف):

• بتزيد قيمة المديول (4.5) لنصف القطر، لأن الطرف طوله يساوي المديول.
• [cite_start]للصغير ($r_a$) = $54+4.5=58.5\text{ mm}$[cite: 226].
• [cite_start]للكبير ($R_a$) = $74.25+4.5=78.75\text{ mm}$[cite: 226].

3. نحسب “مسير التماس” (Path of Contact): دا بيتكون من حتتين: اقتراب (Approach) وانحسار (Recess).

• طول الاقتراب ($AP$): بنستخدم فيهو نصف قطر الكبير ($R_a,R$). $AP=\sqrt{R_a^2-R^2{\cos }^{2}20^{\circ }}-R\sin 20^{\circ }$ [cite_start]عوض الأرقام: $\sqrt{78.75^2-(74.25\cos 20{)}^2}-74.25\sin 20=11.14\text{ mm}$[cite: 227].

• طول الانحسار ($BP$): بنستخدم فيهو نصف قطر الصغير ($r_a,r$). $BP=\sqrt{r_a^2-r^2{\cos }^{2}20^{\circ }}-r\sin 20^{\circ }$ [cite_start]عوض الأرقام: $\sqrt{58.5^2-(54\cos 20{)}^2}-54\sin 20=10.67\text{ mm}$[cite: 232].

• طول المسير الكلي: $11.14+10.67=21.81\text{ mm}$ [cite_start][cite: 233].

4. نحسب “قوس التماس” (المطلوب الأول):

• تقسم المسير الكلي على $\cos 20^{\circ }$. $\text{Arc}=\frac{21.81}{\cos 20^{\circ }}\approx 23.2\text{ mm}$

5. نحسب “أقصى سرعة انزلاق” (المطلوب التاني):

• أقصى انزلاق بيحصل في أبعد نقطة تلامس (يا في البداية $AP$ يا في النهاية $BP$). بنشوف الأطول فيهم ياتو؟ لقينا $AP$ (11.14) أطول من $BP$ (10.67)، يبقى السرعة القصوى حتكون عند نقطة البداية.
• القانون: $(\omega +\Omega )\times AP$.
• لازم تحول السرعة من لفة/دقيقة لـ (rad/s) وتضرب.

---

كدا يا هندسة الباب دا انتهى “فرتكة”. فهمت القصة ولا نعيد حاجة في المثال؟ وتاني ناوي تمشي على ياتو باب؟

---

You Asked:

يلا حنبدا نحل المسائل . المسالة 1

Gemini Responded:

أبشر يا هندسة، نمسك المسألة دي ونفرتكها حتة حتة. دي مسألة شاملة وفيها “تكة” صغيرة في حساب طرف السِنة (Addendum).

نفرز المعطيات (The Givens):

1. الأقطار: الكبير $D=250\text{ mm}$، الصغير $d=100\text{ mm}$.
   • طوالي نجيب أنصاف الأقطار: $R=125\text{ mm}$، $r=50\text{ mm}$.
2. عدد الأسنان: الترس الصغير (Pinion) $t=16$.
3. زاوية الضغط: $\psi =20^{\circ }$.
4. السرعة: القائد (الصغير) بلف بسرعة $N=150\text{ rpm}$.
5. طرف السِنة (Addendum): قال ليك بيساوي $0.3$ من الخطوة الدائرية ($p$).

---

تجهيز الشغل (قبل ما نبدأ الحل)

عشان تحل القوانين الكبيرة، لازم يكون عندك “نصف القطر الخارجي” ($R_a$ و $r_a$). هنا ما أداك ليهم جاهزين، لازم تحسبهم.

1. نحسب الخطوة الدائرية ($p$): [cite_start]القانون بيقول: $p=\frac{\pi d}{t}$ [cite: 19] $p=\frac{\pi \times 100}{16}=19.635\text{ mm}$

2. نحسب طرف السِنة (Addendum): هو قال بيساوي $0.3\times p$. $\text{Addendum}=0.3\times 19.635=5.89\text{ mm}$

3. نجهز أنصاف الأقطار الخارجية (للأطراف): بنضيف الـ Addendum لأنصاف الأقطار العادية:

• للكبير: $R_a=125+5.89=130.89\text{ mm}$
• للصغير: $r_a=50+5.89=55.89\text{ mm}$

---

المطلوب (أ): طول قوس الاقتراب (Arc of Approach)

ركز هنا: هو طلب القوس، لكن عشان تجيب القوس لازم أول شي تجيب المسار المستقيم (Path of Approach - AP).

• منو القائد؟ قال ليك الترس الأصغر هو القائد.
• القاعدة: “ممر الاقتراب” بيعتمد دائماً على الترس المنقاد (Driven). بما إن الصغير هو القائد، يبقى الكبير هو المنقاد. يعني حنستخدم ناس ($R$) و ($R_a$).

1. حساب ممر الاقتراب ($AP$): [cite_start]القانون[cite: 127]: $AP=\sqrt{R_a^2-(R\cos \psi {)}^2}-R\sin \psi$

نعوض الأرقام: $AP=\sqrt{130.89^2-(125\cos 20^{\circ }{)}^2}-125\sin 20^{\circ }$

نحسب جوة الجذر: $125\cos 20=117.46$ $(117.46{)}^2=13797.2$ $130.89^2=17132.2$ الجذر = $\sqrt{17132.2-13797.2}=\sqrt{3335}=57.75$

نحسب برة الجذر: $125\sin 20=42.75$

إذن: $AP=57.75-42.75=15.0\text{ mm}$

2. حساب قوس الاقتراب (Arc of Approach): [cite_start]القانون: القوس = الممر مقسوم على $\cos \psi$[cite: 145]. $\text{Arc}=\frac{15.0}{\cos 20^{\circ }}=\frac{15.0}{0.9397}=15.96\text{ mm}$ (قريبة جداً من الجواب المكتوب 15.98 mm، الفرق بسيط بسبب التقريب).

---

المطلوب (ب): أقصى سرعة انزلاقية (Max Sliding Velocity)

سرعة الانزلاق بتكون “صفر” في النص، وبتكون “أعلى ما يمكن” في أبعد نقطة تلامس (يا بداية التلامس يا نهايته).

1. نحدد أبعد نقطة (المسافة الأطول): نحن حسبنا مسافة البداية (الاقتراب $AP$) وطلعت 15.0 mm. لازم نحسب مسافة النهاية (الانحسار $BP$) ونشوف الأكبر ياتو.

• الانحسار بيعتمد على الترس القائد (الصغير).
• [cite_start]القانون[cite: 128]: $BP=\sqrt{r_a^2-(r\cos \psi {)}^2}-r\sin \psi$ $BP=\sqrt{55.89^2-(50\cos 20{)}^2}-50\sin 20$ $BP=\sqrt{3123.7-2207.6}-17.1$ $BP=\sqrt{916.1}-17.1=30.26-17.1=13.16\text{ mm}$

المقارنة: مسافة الاقتراب ($15.0$) أكبر من مسافة الانحسار ($13.16$). معناها أقصى زحلقة بتحصل في بداية التلامس. المسافة ($PC$) حتكون 15.0 mm.

2. نحسب السرعات الزاوية ($\omega ,\Omega$):

• سرعة الصغير ($\omega$): $\omega =\frac{2\pi N}{60}=\frac{2\pi \times 150}{60}=15.71\text{ rad/s}$

• سرعة الكبير ($\Omega$): بنجيبها بنسبة الأقطار (عكسية): $\frac{\Omega }{\omega }=\frac{d}{D}\to \Omega =15.71\times \frac{100}{250}=6.28\text{ rad/s}$

3. نحسب سرعة الانزلاق القصوى ($V_s$): [cite_start]القانون[cite: 116]: $V_s=(\omega +\Omega )\times PC$

• المسافة ($PC$) لازم تكون بالمتر عشان السرعة تطلع (m/s). $PC=15.0\text{ mm}=0.015\text{ m}$.

$V_s=(15.71+6.28)\times 0.015$ $V_s=21.99\times 0.015=0.329\text{ m/s}$

(بالظبط زي الجواب المكتوب 0.33 m/s).

---

الخلاصة:

1. حسبنا الـ Addendum من الخطوة.
2. جبنا $R_a$ و $r_a$.
3. جبنا مسافة الاقتراب وقسمناها على $\cos 20$ عشان نطلع القوس.
4. قارنا مسافة الاقتراب والانحسار، شلنا الكبيرة، وضربناها في مجموع السرعات عشان نطلع الانزلاق.

واضحة يا هندسة؟ نمشي للمسألة البعدها؟

---

You Asked:

المسالة 2

Gemini Responded:

أبشر يا هندسة، نمسك المسألة رقم (2) دي ونحللها “صامولة صامولة”.

المسألة دي بتعتمد على نفس القوانين الفاتت، بس المطلوب فيها زيادة حتة صغيرة (الزوايا).

١. نفرز المعطيات (Givens)

• عدد الأسنان: الصغير ($t$) = 20، الكبير ($T$) = 29.
• زاوية الضغط: $\psi =20^{\circ }$.
• المديول (المقنن): $m=6.5\text{ mm}$.
• طرف السِنة (Addendum): قال ليك “طول قياسي”، يعني بيساوي المديول = $6.5\text{ mm}$.

المطلوب:

1. طول ممر التماس (Path of Contact).
2. زاوية الدوران لكل ترس أثناء التماس (Angle of turn).

---

٢. تجهيز الشغل (الأقطار وأنصاف الأقطار)

قبل أي قانون، لازم يكون عندنا أنصاف الأقطار العادية ($r,R$) والخارجية ($r_a,R_a$).

1. أنصاف أقطار دائرة الخطوة:

• للترس الصغير: $r=\frac{m\times t}{2}=\frac{6.5\times 20}{2}=65\text{ mm}$
• للترس الكبير: $R=\frac{m\times T}{2}=\frac{6.5\times 29}{2}=94.25\text{ mm}$

2. أنصاف الأقطار الخارجية (نزيد طرف السِنة):

• للترس الصغير: $r_a=65+6.5=71.5\text{ mm}$
• للترس الكبير: $R_a=94.25+6.5=100.75\text{ mm}$

---

٣. الخطوة الأولى: حساب طول ممر التماس (Path of Contact)

ممر التماس هو مجموع حتتين: (جزء بيعتمد على الكبير) + (جزء بيعتمد على الصغير). القانون الطويل داك، حنقسمه نصين عشان ما نتلخبط:

الجزء الأول (حق الترس الكبير - الاقتراب): $\sqrt{R_a^2-(R\cos \psi {)}^2}-R\sin \psi$

• نعوض: $\sqrt{100.75^2-(94.25\cos 20{)}^2}-94.25\sin 20$
• نحسب اللي جوة الجذر: $R\cos 20=88.57\to \text{Squared}=7844.6$ $R_a^2=10150.6$ الجذر = $\sqrt{10150.6-7844.6}=\sqrt{2306}\approx 48.02$
• نطرح منه $R\sin 20$: $94.25\sin 20=32.23$
• الناتج الأول: $48.02-32.23=15.79\text{ mm}$

الجزء التاني (حق الترس الصغير - الانحسار): $\sqrt{r_a^2-(r\cos \psi {)}^2}-r\sin \psi$

• نعوض: $\sqrt{71.5^2-(65\cos 20{)}^2}-65\sin 20$
• نحسب اللي جوة الجذر: $r\cos 20=61.08\to \text{Squared}=3730.7$ $r_a^2=5112.25$ الجذر = $\sqrt{5112.25-3730.7}=\sqrt{1381.55}\approx 37.17$
• نطرح منه $r\sin 20$: $65\sin 20=22.23$
• الناتج التاني: $37.17-22.23=14.94\text{ mm}$

إذن طول ممر التماس الكلي: $\text{Path}=15.79+14.94=30.73\text{ mm}$ (نفس الجواب المكتوب في الكتاب بالضبط).

---

٤. الخطوة الثانية: حساب الزاوية (Angle of turn)

عشان تجيب الزاوية، لازم أول شي تجيب “قوس التماس” (Arc of Contact)، لأن الترس بلف في دائرة، ما بيمشي في خط مستقيم.

1. نجيب طول القوس: القانون: نقسم ممر التماس (الجبناهو قبيل) على $\cos 20$. $\text{Arc}=\frac{30.73}{\cos 20}=\frac{30.73}{0.9397}=32.70\text{ mm}$

2. نجيب زاوية الترس الكبير: الزاوية = طول القوس / نصف القطر. $\text{Angle}=\frac{32.70}{R}=\frac{32.70}{94.25}=0.347\text{ rad}$ عشان نحولها درجات نضرب في ($180/\pi$) أو (57.3): $\text{Angle (deg)}=0.347\times 57.3=19.88^{\circ }$ (زي الكتاب بالضبط).

3. نجيب زاوية الترس الصغير: نفس القوس بس نقسم على نصف قطر الصغير ($r$). $\text{Angle}=\frac{32.70}{r}=\frac{32.70}{65}=0.503\text{ rad}$ بالدرجات: $\text{Angle (deg)}=0.503\times 57.3=28.82^{\circ }$ (برضو زي الكتاب 28.8).

---

خلاصة المسألة:

1. تحسب نصف القطر ($r$) ونصف القطر الخارجي ($r_a$) لكل ترس.
2. تطبق قانون الجذر الطويل لكل واحد وتجمعهم (دا ممر التماس).
3. تقسم على $\cos 20$ عشان تجيب القوس.
4. تقسم القوس على نصف القطر عشان تجيب الزاوية.

واضحة يا معلم؟

---

You Asked:

المسالة 3

Gemini Responded:

أبشر يا هندسة، وصلنا للمسألة رقم (3). المسألة دي فيها “تكة” حلوة وسهلة، لأنها بتتكلم عن ترسين متماثلين (Identical Gears). يعني الترسين قدر بعض بالضبط، ودي بتسهل الحسابات شديد لأنك ما محتاج تحسب للكبير وللصغير، بتحسب لواحد بس وتضرب في 2.

أرح نفرتكها:

١. نفرز المعطيات (Givens)

• التروس: الاتنين زي بعض بالضبط.
• عدد الأسنان: $t=T=20$ سِنة.
• المديول: $m=6.5\text{ mm}$.
• زاوية الضغط: $\psi =20^{\circ }$.
• طرف السِنة (الحالة الأولى): Addendum = $6.5\text{ mm}$.

المطلوب:

1. تحسب طول قوس التماس في الحالة العادية دي.
2. لو دايرين “نمط” السِنة ونطولها عشان نجيب أقصى تلامس ممكن، القوس حيكون كم؟ وطول الطرف الجديد حيكون كم؟

---

٢. الجزء الأول: الوضع العادي (Addendum = 6.5)

زي ما اتفقنا، الترسين توأم، يعني نصف قطرهم واحد.

1. نجهّز أنصاف الأقطار:

• نصف قطر دائرة الخطوة ($r$): $r=\frac{m\times t}{2}=\frac{6.5\times 20}{2}=65\text{ mm}$
• نصف القطر الخارجي ($r_a$): نزيد ليهو الطرف (6.5): $r_a=65+6.5=71.5\text{ mm}$

2. نحسب “ممر التماس” (Path of Contact): بما إن الترسين قدر بعض، معناها “مشوار الدخول” (الاقتراب) بيساوي “مشوار الخروج” (الانحسار). نحسب واحد ونضربه في 2.

• قانون الاقتراب (نطبقه على أي واحد فيهم): $\text{Path}=\sqrt{r_a^2-(r\cos \psi {)}^2}-r\sin \psi$

• نعوض الأرقام:

  • $r\cos 20=65\times 0.9397=61.08\text{ mm}$ (دا نصف قطر دائرة الأساس).
  • $r\sin 20=65\times 0.342=22.23\text{ mm}$.

  $AP=\sqrt{71.5^2-61.08^2}-22.23$ $AP=\sqrt{5112.25-3730.76}-22.23$ $AP=\sqrt{1381.5}-22.23=37.17-22.23=14.94\text{ mm}$

• المسار الكلي: بما أنهم متماثلين، اضرب في 2: $\text{Total Path}=14.94\times 2=29.88\text{ mm}$

3. نحسب “قوس التماس” (المطلوب الأول):

• نقسم المسار الكلي على $\cos 20$: $\text{Arc}=\frac{29.88}{0.9397}=31.8\text{ mm}$ (نفس جواب الكتاب بالملي).

---

٣. الجزء التاني: الوضع “الماكسيموم” (Extreme Case)

هنا السؤال بيقول ليك: “ياخ السِنة دي قصيرة، لو طولناها لحدي ما تجيب آخرها (أقصى تماس)، القوس حيكون كم؟”.

الفهم (الزيت): أقصى طول للسِنة مسموح بيه هو إنها توصل لحدي “نقطة التماس” حقت دائرة الأساس في الترس التاني (Interference Point). لو زادت عن كدا حتحك في الحديد وتكسره. المسافة دي من النص ($P$) لحدي نقطة التماس ($I$) بتساوي رياضياً: $r\sin \psi$.

1. حساب “أقصى قوس تماس” (Maximum Arc):

• أقصى مسار من جهة واحدة = $r\sin \psi$.

• وبما أنهم ترسين، يبقى المسار الكلي = $2\times r\sin \psi$. $\text{Max Path}=2\times 65\times \sin 20=2\times 22.23=44.46\text{ mm}$

• نحول لقوس (نقسم على $\cos 20$): $\text{Max Arc}=\frac{44.46}{\cos 20}=47.3\text{ mm}$ (الكتاب كاتب 47.2 الفرق بسيط بسبب تقريب الكسور، لكن الطريقة صح 100%).

2. حساب “طول طرف السِنة الجديد” (New Addendum): عشان السِنة توصل للمسافة البعيدة دي، لازم نصف قطرها الخارجي ($r_{a\_new}$) يكبر. نجيبه كيف؟ بفيثاغورس.

تخيل مثلث قائم الزاوية:

• الضلع القائم الأول: هو نصف قطر الأساس ($r_b=r\cos \psi$).
• الضلع القائم التاني: هو المسافة الكلية بين نقطتي التماس ($TangentLength$).
  • في الحالة القصوى، السِنة حقت الترس الأول حتغطي المسافة دي كلها لحدي الترس التاني. المسافة دي بتساوي $(r\sin \psi +r\sin \psi )=2r\sin \psi$.
• الوتر: هو نصف القطر الجديد ($r_{a\_new}$).

القانون: $r_{a\_new}=\sqrt{(r\cos \psi {)}^2+(2r\sin \psi {)}^2}$

نعوض: $r_{a\_new}=\sqrt{(61.08{)}^2+(2\times 22.23{)}^2}$ $r_{a\_new}=\sqrt{3730.7+44.46^2}$ $r_{a\_new}=\sqrt{3730.7+1976.7}=\sqrt{5707.4}=75.55\text{ mm}$

• نجيب طول الطرف بس (Addendum): نطرح منه نصف القطر الأصلي ($r=65$): $\text{New Addendum}=75.55-65=10.55\text{ mm}$ (جواب الكتاب 10.52 mm، الفرق البسيط دا عشان هم دقيقين شديد في الـ sin والـ cos، لكن اجابتك كدا في السليم).

---

خلاصة المسألة:

1. لما التروس تكون متماثلة، احسب لواحد واضرب في 2.
2. “أقصى قوس” بيحصل لما المسار يساوي $r\sin \psi$ من كل جهة.
3. عشان تجيب الطول الجديد، بتستخدم فيثاغورس مع “ضعف” المسافة العمودية.

كدا يا هندسة خلصنا المسائل في الصور.. عندك شي تاني في الباب دا ولا نشوف غيره؟

---

You Asked:

المسالة 4

Gemini Responded:

أبشر يا هندسة، نمسك المسألة رقم (4). المسألة دي مختلفة شوية عن الفاتوا، لأنها ما بتتكلم عن “أبعاد وسنون”، دي بتتكلم عن قوة (Power) وأحمال (Loads). يعني دخلنا في شغل التصميم الميكانيكي الجد جد.

المسألة مقسومة جزئين: جزء نظري (سؤال شفهي) وجزء حسابات.

---

الجزء الأول: النظري (الشرط اللازم)

السؤال: ما هو الشرط الواجب تحقيقه للحصول على نسبة سرعة ثابتة؟

• الإجابة ببساطة: عشان السرعة تفضل ثابتة وما يحصل “تقطيع”، لازم العمود المشترك (الخط اللي بتنتقل فيه القوة عند نقطة التلامس) يمر دائماً بـ نقطة ثابتة على خط المراكز (اللي هي نقطة الخطوة P).
• ليه الأنفوليوت بيحقق الشرط دا؟ لأن منحنى الأنفوليوت عنده خاصية هندسية بتخلي “العمود عليه” دائماً مماس للدائرة الأساسية. وبما أن الدوائر الأساسية ثابتة، فالمماس المشترك حيكون خط ثابت، وبالتالي دائماً بيمر بنفس النقطة (P).

---

الجزء الثاني: الحسابات (الزيت)

1. نفرز المعطيات (Givens):

• القدرة المنقولة ($P$): $120\text{ kW}$ (لازم نحولها لوات نضرب في 1000) = $120,000\text{ Watt}$.
• قطر الترس ($d$): $230\text{ mm}$ (لازم نحول لمتر نقسم على 1000) = $0.23\text{ m}$.
• السرعة ($N$): $650\text{ rev/min}$.
• زاوية الضغط الأولى (${\psi }_1$): $20^{\circ }$.
• زاوية الضغط الثانية (${\psi }_2$): $15^{\circ }$.

المطلوب:

1. حمل المحامل (Total Load on Bearings) في حالة الزاوية 20.
2. نسبة التخفيض في الحمل لو غيرنا الزاوية لـ 15.

---

خطوات الحل

الفكرة هنا: الترس عشان يلف بيبذل قوة. القوة دي بتتحلل لمركبتين. المحامل (رلمان البلي) الشايلة العمود بتشيل القوة الكلية (Total Normal Force).

الخطوة 1: نحسب السرعة الخطية ($v$) الترس بيلف، لازم نعرف سنونه ماشة بسرعة كم متر في الثانية. $v=\frac{\pi \times d\times N}{60}$ $v=\frac{\pi \times 0.23\times 650}{60}=7.828\text{ m/s}$

الخطوة 2: نحسب “القوة المماسية” ($F_t$) دي القوة “المفيدة” البتخلي الترس يلف فعلياً. القانون: القدرة = القوة × السرعة ($P=F_t\times v$). يبقى: $F_t=\frac{P}{v}$ $F_t=\frac{120,000}{7.828}=15,329.5\text{ Newton}\approx 15.33\text{ kN}$

الخطوة 3: نحسب “الحمل الكلي على المحامل” ($F_n$) للحالة الأولى ($20^{\circ }$) القوة البتضغط على العمود (والبلي) أكبر من القوة المماسية، لأن الأسنان بتدفر بعض بزاوية مايلة. العلاقة بينهم مثلث قائم الزاوية: $F_t=F_n\times \cos \psi$. يبقى الحمل الكلي: $F_n=\frac{F_t}{\cos \psi }$

• نعوض الزاوية $20^{\circ }$: $F_{n1}=\frac{15.33}{\cos 20^{\circ }}=\frac{15.33}{0.9397}=16.31\text{ kN}$ (نفس جواب الكتاب 16.3 kN). دا المطلوب الأول.

---

الخطوة 4: نعيد الحساب للحالة الثانية ($15^{\circ }$) لو غيرنا الزاوية، الـ Power ثابتة والسرعة ثابتة، يعني ($F_t=15.33\text{ kN}$) ما حتتغير. البيتغير بس هو القوة الكلية بسبب تغير الزاوية.

• نعوض الزاوية $15^{\circ }$: $F_{n2}=\frac{15.33}{\cos 15^{\circ }}=\frac{15.33}{0.9659}=15.87\text{ kN}$

الخطوة 5: نحسب “نسبة التخفيض” (Percentage Reduction) عايزين نعرف الحمل نزل بنسبة كم في المية. القانون: (الفرق / الأصلي) × 100.

• الفرق في الحمل: $16.31-15.87=0.44\text{ kN}$

• النسبة المئوية: $\%=\frac{0.44}{16.31}\times 100=2.69\%$ (بالتقريب تساوي $2.7\%$ زي جواب الكتاب).

---

ملخص سريع يا هندسة:

1. جيب سرعة الدوران بالمتر/ثانية ($v$).
2. اقسم الـ Power على السرعة عشان تجيب قوة الدوران ($F_t$).
3. اقسم قوة الدوران على $\cos \psi$ عشان تجيب الضغط الكلي على العمود ($F_n$).
4. اعمل الحركة دي مرتين (مرة لزاوية 20 ومرة لزاوية 15) وشوف الفرق كم في المية.

وقع ليك الكلام؟ كدا نكون فرمنا المسائل الأربعة كلها. محتاج أي توضيح إضافي ولا نشوف حاجة تانية؟

---

You Asked:

المسألة 5

Gemini Responded:

أبشر يا هندسة، دي آخر مسألة في المجموعة (رقم 5). المسألة دي مباشرة جداً (Straightforward) وما فيها أي لف ودوران، بس أرقامها كبيرة شوية لأن “المديول” هنا 12 (يعني السنون ضخمة).

أرح نفرتكها خطوة خطوة:

---

١. نفرز المعطيات (Givens)

• الترس الصغير (Pinion):
  • عدد الأسنان ($t$) = 18.
  • السرعة ($N$) = 250 rev/min.
• الترس الكبير (Wheel):
  • عدد الأسنان ($T$) = 30.
• البيانات المشتركة:
  • المديول ($m$) = 12 mm.
  • زاوية الضغط ($\psi$) = $20^{\circ }$.
  • طرف السِنة (Addendum): قال ليك بيساوي المديول = 12 mm.

المطلوب:

1. طول خط التماس (Length of path of contact).
2. أقصى سرعة انزلاق (Maximum sliding velocity).

---

٢. تجهيز الشغل (حساب الأقطار)

عشان نحل القوانين، لازم نكون عارفين أنصاف الأقطار العادية ($r,R$) وأنصاف الأقطار الخارجية ($r_a,R_a$).

1. أنصاف أقطار دائرة الخطوة:

• للصغير: $r=\frac{m\times t}{2}=\frac{12\times 18}{2}=108\text{ mm}$
• للكبير: $R=\frac{m\times T}{2}=\frac{12\times 30}{2}=180\text{ mm}$

2. أنصاف الأقطار الخارجية (نزيد الطرف 12mm):

• للصغير: $r_a=108+12=120\text{ mm}$
• للكبير: $R_a=180+12=192\text{ mm}$

---

٣. المطلوب (أ): طول خط التماس (Path of Contact)

القانون بتاعنا الثابت: (مسافة الاقتراب + مسافة الانحسار).

1. نحسب مسافة الاقتراب (Path of Approach - AP): بتعتمد على الترس الكبير ($R,R_a$). $AP=\sqrt{R_a^2-(R\cos 20{)}^2}-R\sin 20$

• نعوض الأرقام:
  • $R\cos 20=180\times 0.9397=169.15$
  • تربيعه = $28611.7$
  • $R_a^2=192^2=36864$
  • الجذر = $\sqrt{36864-28611.7}=\sqrt{8252.3}\approx 90.84$
  • نطرح منه ($R\sin 20=180\times 0.342=61.56$): $AP=90.84-61.56=29.28\text{ mm}$

2. نحسب مسافة الانحسار (Path of Recess - BP): بتعتمد على الترس الصغير ($r,r_a$). $BP=\sqrt{r_a^2-(r\cos 20{)}^2}-r\sin 20$

• نعوض الأرقام:
  • $r\cos 20=108\times 0.9397=101.49$
  • تربيعه = $10300.2$
  • $r_a^2=120^2=14400$
  • الجذر = $\sqrt{14400-10300.2}=\sqrt{4099.8}\approx 64.03$
  • نطرح منه ($r\sin 20=108\times 0.342=36.94$): $BP=64.03-36.94=27.09\text{ mm}$

3. الطول الكلي (Total Path): $\text{Path}=29.28+27.09=56.37\text{ mm}$ (الجواب في الكتاب 56.4 mm، يعني شغلنا ميه ميه).

---

٤. المطلوب (ب): أقصى سرعة انزلاق (Max Sliding Velocity)

1. نحدد أبعد نقطة: عندنا الاقتراب ($29.28$) أكبر من الانحسار ($27.09$). يبقى أقصى انزلاق بيحصل في بداية التلامس، والمسافة ($PC$) حتكون 29.28 mm. (لازم نحولها متر: $0.02928\text{ m}$).

2. نحسب السرعات الزاوية ($\omega ,\Omega$):

• سرعة الصغير ($\omega$): $\omega =\frac{2\pi N}{60}=\frac{2\pi \times 250}{60}=26.18\text{ rad/s}$

• سرعة الكبير ($\Omega$): بنسبة عدد الأسنان: $\Omega =\omega \times \frac{t}{T}=26.18\times \frac{18}{30}=15.71\text{ rad/s}$

3. نحسب سرعة الانزلاق ($V_s$): $V_s=(\omega +\Omega )\times PC$ $V_s=(26.18+15.71)\times 0.02928$ $V_s=41.89\times 0.02928\approx 1.226\text{ m/s}$ (نفس جواب الكتاب بالملي).

---

كدا يا هندسة خلصنا الـ 5 مسائل والباب كله بقى في جيبك. [cite_start][cite: 1, 2, 4, 115] محتاج أي مساعدة تانية في مادة تانية ولا نوقف هنا؟

---