التوافقية

التعريفات

أهلاً بك يا تاج الأصفياء. بصفتك طالباً في الهندسة الكهربائية، ستجد أن مفاهيم التردد والموجات في الميكانيكا تتشابه رياضياً بشكل كبير مع تلك الموجودة في الدوائر الكهربائية (AC Circuits).

بناءً على الملف المرفق (الفصل الثاني: الحركة التوافقية البسيطة)، قمت بتجميع كافة التعريفات والمصطلحات الأساسية الواردة فيه، مرتبة حسب الموضوع:

1. مفاهيم الحركة الأساسية

• الحركة التوافقية البسيطة (Simple Harmonic Motion): هي حركة يتحرك فيها الجسم بحيث تكون “عجلة حركته تتناسب مع إزاحته من نقطة ثابتة، وتتجه دائماً نحو هذه النقطة”.
• سعة الحركة (Amplitude): هي “الإزاحة القصوى” للجسم المتحرك بحركة توافقية بسيطة ويرمز لها عادة بالرمز $a$.
• الحركة التوافقية البسيطة الزاوية (Angular SHM): هي حركة تنطبق عليها نفس قوانين الحركة الخطية ولكن باستخدام الإزاحة الزاوية ($\theta$) والعجلة الزاوية، حيث تتناسب العجلة الزاوية مع الإزاحة الزاوية.

2. معاملات الحركة والزمن

• الزمن الدوري ($t_p$): هو “الزمن الذي يستغرقه دوران P دورة واحدة كاملة” (أو الزمن اللازم لعمل ذبذبة كاملة).
• التردد ($n$): يقاس بوحدة “هيرتز (Hz)” وهي “تساوي ذبذبة واحدة لكل ثانية”.
• التردد الدائري ($\omega$): هو السرعة الزاوية للخط المولد للحركة، ويعبر عنه بالعلاقة بين العجلة والإزاحة (${\omega }^2=f/x$).

3. خصائص المنظومة المرنة (Elastic Systems)

• كزازة المنظومة ($S$ - Stiffness): هي “القوة الكامنة لوحدة الإزاحة” (أي مقدار القوة اللازمة لعمل إزاحة مقدارها وحدة واحدة).
• كزازة اللي ($q$ - Torsional Stiffness): هي “عزم اللي الكامن لوحدة الإزاحة الزاوية” وتستخدم في الحركة الزاوية للمنظومات المرنة.
• الترخيم الاستاتيكي ($\delta$): هو مقدار الهبوط أو الاستطالة (الإزاحة) التي تحدث للجسم أو السوستة تحت تأثير الحمل الساكن (الوزن).

4. أنواع البندول (Pendulums)

• البندول البسيط (Simple Pendulum): هو نظام يتكون من كتلة معلقة بخيط، وعند إعطائه إزاحة زاوية صغيرة يتحرك حركة توافقية بسيطة تحت تأثير الجاذبية.
• البندول المركب (Compound Pendulum): هو جسم جاسئ يدور أو يتأرجح حول “نقطة تعليق” لا تمر بمركز ثقله ($G$)، وتعتمد حركته على عزم القصور الذاتي للجسم.
• نصف قطر الحركة التدويمية ($k$): هو البعد الذي يستخدم لحساب عزم القصور الذاتي للجسم حول مركز ثقله ($I=m{k}^2$)، ويظهر في معادلات البندول المركب.

5. طرق التحليل والقياس

• أسلوب ثبوت الطاقة الكلية (Energy Method): هو مبدأ ينص على أن المنظومة التي تتذبذب بحرية حول وضعها الاستاتيكي، “تبقى طاقتها الكلية ثابتة”، أي مجموع طاقة الوضع والحركة وطاقة الانفعال يساوي مقداراً ثابتاً.
• السطح المعلق أفقياً بثلاثة خيوط (Trifilar Suspension): هي طريقة تجريبية تستخدم لتعيين “عزم القصور الذاتي لجسم” عن طريق تعليقه بثلاثة أسلاك رأسية وحساب زمن ذبذبته.

هل ترغب في أن أستخرج لك القوانين الرياضية (Formulas) المرتبطة بكل تعريف من هذه التعريفات؟

---

القوانين

إليك تجميع شامل لكل القوانين والعلاقات الرياضية الواردة في الباب الثاني (الحركة التوافقية البسيطة) من الملف المرفق، مصنفة ليسهل عليك حفظها واستخدامها في حل المسائل:

1. قوانين الحركة التوافقية البسيطة (الخطية)

تصف هذه القوانين حركة جسم يتذبذب في خط مستقيم (مثل كتلة معلقة في زمبرك).

• الإزاحة ($x$): $x=a\cos (\omega t)$ حيث $a$ هي سعة الحركة (أقصى إزاحة)، و$\omega$ هي التردد الدائري.

• السرعة ($v$): $v=\omega \sqrt{a^2-x^2}$ أقصى سرعة ($v_{max}$) تحدث عند المنتصف ($x=0$): $v_{max}=\omega a$ .

• العجلة ($f$): $f={\omega }^{2}x$ أقصى عجلة ($f_{max}$) تحدث عند الأطراف ($x=a$): $f_{max}={\omega }^{2}a$ (ملاحظة: العجلة تتناسب طردياً مع الإزاحة وتعاكسها في الاتجاه).

• الزمن الدوري ($t_p$): $t_p=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{x}{f}}$ .

• التردد ($n$): $n=\frac{1}{t_p}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{f}{x}}\text{ (Hz)}$ .

---

2. قوانين الحركة التوافقية البسيطة (الزاوية)

تصف حركة جسم يتذبذب بزاوية (مثل البندول أو عجلة توازن).

• السرعة الزاوية اللحظية ($\Omega$): $\Omega =\omega \sqrt{{\varphi }^2-{\theta }^2}$ حيث $\varphi$ هي سعة الحركة الزاوية (أقصى زاوية)، و$\theta$ هي الإزاحة الزاوية عند لحظة معينة. أقصى سرعة زاوية: ${\Omega }_{max}=\omega \varphi$ .

• العجلة الزاوية ($\alpha$): $\alpha ={\omega }^2\theta$ أقصى عجلة زاوية: ${\alpha }_{max}={\omega }^2\varphi$ .

• الزمن الدوري للحركة الزاوية: $t_p=2\pi \sqrt{\frac{\theta }{\alpha }}$ .

---

3. قوانين المنظومات المرنة (Elastic Systems)

الخاصة بالنابض (السوستة) والأجسام المرنة.

• قانون الحركة للكتلة والنابض: $t_p=2\pi \sqrt{\frac{m}{S}}$ حيث $S$ هي كزازة النابض (Stiffness) وتقاس بـ N/m، و$m$ هي الكتلة.

• العلاقة باستخدام الترخيم الاستاتيكي ($\delta$): الترخيم الاستاتيكي هو مقدار استطالة النابض تحت تأثير وزن الكتلة فقط ($mg=S\delta$). $t_p=2\pi \sqrt{\frac{\delta }{g}}$ والتردد: $n=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{\delta }}\approx \frac{1}{2\sqrt{\delta }}\text{ (إذا كانت }\delta \text{ بالمتر)}$ .

• تصحيح كتلة النابض (في حال عدم إهمالها): إذا كان للنابض كتلة $m_{spring}$، تضاف ثلث كتلتها إلى الكتلة المعلقة $M$: $t_p=2\pi \sqrt{\frac{M+\frac{m_{spring}}{3}}{S}}$ .

• للمنظومات المرنة الزاوية (Torsional): $t_p=2\pi \sqrt{\frac{I}{q}}$ حيث $I$ هو عزم القصور الذاتي، و$q$ هي كزازة اللي (Torsional stiffness).

---

4. قوانين البندول (Pendulums)

• البندول البسيط: $t_p=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ حيث $l$ طول الخيط.

• البندول المركب (Compound Pendulum): $t_p=2\pi \sqrt{\frac{k^2+h^2}{gh}}$ حيث:

  • $k$: نصف قطر التدويم حول مركز الثقل G.
  • $h$: المسافة بين نقطة التعليق ومركز الثقل G. .

• شرط أقل زمن دوري للبندول المركب: يحدث عندما يكون $h=k$، وفي هذه الحالة يكون الزمن: $t_p=2\pi \sqrt{\frac{2k}{g}}$ .

---

5. قوانين وتطبيقات خاصة

• طريقة الطاقة (Energy Method): لأي نظام محافظ (بدون احتكاك)، معدل تغير الطاقة الكلية بالنسبة للزمن يساوي صفر: $\frac{d}{dt}(K.E.+P.E.+S.E.)=0$ تستخدم هذه الطريقة لاشتقاق التردد الطبيعي للأنظمة المعقدة.

• السطح المعلق بثلاثة خيوط (Trifilar Suspension): تستخدم لإيجاد عزم القصور الذاتي عملياً: $t_p=2\pi \sqrt{\frac{I_{o}l}{mg{r}^2}}$ ومنها يمكن حساب عزم القصور الذاتي $I_o$: $I_o=\frac{t_p^{2}mg{r}^2}{4{\pi }^{2}l}$ حيث $r$ هو بعد الخيوط عن المركز، و$l$ طول الخيوط.

• المعادلة التفاضلية العامة للحركة التوافقية: $m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+Sx=0\text{أو}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0$ .

بصفتك تدرس الهندسة الكهربائية، ستلاحظ أن المعادلة التفاضلية الأخيرة ($\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0$) هي نفسها التي تصف دوائر LC (المحث والمكثف) بدون مقاومة، حيث تماثل الكتلة ($m$) المحث ($L$)، وتماثل الكزازة ($S$) مقلوب السعة ($1/C$).

هل تريد مثالاً يوضح كيفية استخدام أحد هذه القوانين لحل مسألة معينة من المسائل الموجودة في الملف؟

---

الاثباتات

1. إثبات معادلات السرعة والعجلة (من الحركة الدائرية)

يعتمد هذا الإثبات على إسقاط حركة نقطة $P$ تدور في دائرة مرجعية على القطر $AB$1111.

+1

• الفرضيات: نقطة $P$ تدور بسرعة زاوية ثابتة $\omega$ في دائرة نصف قطرها $a$ (السعة). الإزاحة $x$ تقاس من المركز $O$2222.

  +1

• الإزاحة ($x$):

  إذا كانت $\psi$ هي الزاوية التي دارها الخط $OP$ في زمن $t$ (أي $\psi =\omega t$)، فإن مسقط $P$ على القطر يعطى بـ:

  $x=a\cos \psi =a\cos \omega t$

  +1

• السرعة ($v$):

  سرعة النقطة $P$ هي سرعة مماسية مقدارها $\omega a$. مركبتها الموازية للقطر $AB$ هي:

  $v=\omega a\sin \psi$

  ومن العلاقات المثلثية (${\sin }^2\psi +{\cos }^2\psi =1$)، نجد أن $\sin \psi =\sqrt{1-{\cos }^2\psi }=\sqrt{1-(x/a{)}^2}$.

  بالتعويض:

  $v=\omega \sqrt{a^2-x^2}$

  +1

• العجلة ($f$):

  عجلة النقطة $P$ هي عجلة مركزية مقدارها ${\omega }^{2}a$ تتجه نحو المركز $O$. مركبتها الموازية للقطر هي:

  $f={\omega }^{2}a\cos \psi$

  وبما أن $x=a\cos \psi$:

  $f={\omega }^{2}x$

  (وهذا يثبت تعريف الحركة التوافقية: العجلة تتناسب مع الإزاحة).+1

---

2. إثبات الزمن الدوري للمنظومة المرنة (كتلة وسوستة)

• الفرضيات: جسم كتلته $m$ معلق بسوستة كزازتها $S$ (القوة لكل وحدة إزاحة)6666.

  +1

• الاستنتاج:

  1. قوة الإرجاع المؤثرة على الكتلة عند إزاحتها مسافة $x$ هي $Sx$.

  2. من قانون نيوتن الثاني (القوة = الكتلة × العجلة):

     $Sx=mf$

  3. بإعادة ترتيب المعادلة:

     $\frac{f}{x}=\frac{S}{m}$

  4. في الحركة التوافقية، نعلم أن مربع التردد الدائري ${\omega }^2=\frac{f}{x}$.

     إذن: ${\omega }^2=\frac{S}{m}$ ومنها $\omega =\sqrt{\frac{S}{m}}$9.

  5. الزمن الدوري $t_p=\frac{2\pi }{\omega }$:

     $t_p=2\pi \sqrt{\frac{m}{S}}$

• بدلالة الترخيم الاستاتيكي ($\delta$):

  في وضع الاتزان، وزن الجسم يساوي قوة السوستة ($mg=S\delta$).

  إذن $\frac{m}{S}=\frac{\delta }{g}$. وبالتعويض:

  $t_p=2\pi \sqrt{\frac{\delta }{g}}$

---

3. إثبات الزمن الدوري للبندول البسيط

• الفرضيات: كتلة صغيرة $m$ معلقة بخيط طوله $l$، أزيحت بزاوية صغيرة $\theta$12.

• الاستنتاج:

  1. عزم قوة الإرجاع (الوزن) حول نقطة التعليق هو:

     $\text{Torque}=mgl\sin \theta$

  2. للزوايا الصغيرة، $\sin \theta \approx \theta$ (بالتقدير الدائري)، فيصبح العزم $\approx mgl\theta$ 14.

  3. من قانون الحركة الدورانية (العزم = عزم القصور الذاتي × العجلة الزاوية):

     $mgl\theta =I\alpha$

     حيث $I=m{l}^2$ للكتلة النقطية.

  4. بالتعويض:

     $mgl\theta =m{l}^2\alpha$

  5. بقسمة الطرفين لإيجاد النسبة بين العجلة والإزاحة:

     $\frac{\alpha }{\theta }=\frac{g}{l}$

  6. بما أن ${\omega }^2=\frac{\alpha }{\theta }$، فإن الزمن الدوري:

     $t_p=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

---

4. إثبات الزمن الدوري للبندول المركب

• الفرضيات: جسم جاسئ كتلته $m$ يتأرجح حول محور تعليق $O$ يبعد مسافة $h$ عن مركز ثقله $G$. نصف قطر التدويم حول مركز الثقل هو $k$ .

• الاستنتاج:

  1. عزم قوة الوزن حول $O$ عند الإزاحة $\theta$:

     $\text{Torque}=mgh\sin \theta \approx mgh\theta$

  2. عزم القصور الذاتي للجسم حول محور التعليق $O$ (باستخدام نظرية المحاور المتوازية):

     $I_o=I_G+m{h}^2=m{k}^2+m{h}^2=m(k^2+h^2)$

  3. معادلة الحركة ($T=I_o\alpha$):

$mgh\theta =m(k^2+h^2)\alpha$

    21.
    
3. إيجاد التردد الدائري:
    
    $$\frac{\alpha}{\theta} = \omega^2 = \frac{mgh}{m(k^2 + h^2)} = \frac{gh}{k^2 + h^2}$$
    
    22.
    
4. الزمن الدوري:
    
    $$t_p = 2\pi \sqrt{\frac{k^2 + h^2}{gh}}$$
    
    23.
    

---

5. إثبات أثر كتلة السوستة على الزمن الدوري (مثال 2-2)

• الهدف: إثبات أن ثلث كتلة السوستة يضاف للكتلة المعلقة في القانون24242424.

  +1

• الاستنتاج (بطريقة الطاقة):

  1. نعتبر عنصراً صغيراً من السوستة طوله $dx$ وكتلته $\frac{m}{l}dx$ (حيث $m$ كتلة السوستة و$l$ طولها).

  2. سرعة هذا العنصر تعتمد على بعده $x$ من نقطة التثبيت: $v_x=\frac{x}{l}v$ (حيث $v=\omega a$ سرعة الطرف الحر)25252525.

     +1

  3. طاقة الحركة لهذا العنصر:

     $d(K.E)=\frac{1}{2}(\text{كتلة العنصر})(\text{سرعته}{)}^2=\frac{1}{2}\left(\frac{m}{l}dx\right){\left(\frac{x}{l}\omega a\right)}^2$

  4. بالتكامل على طول السوستة من $0$ إلى $l$:

     $\text{Total K.E}={\int }_0^l\frac{m{\omega }^2{a}^2}{2l^3}{x}^{2}dx=\frac{m}{6}{\omega }^2{a}^2$

  5. هذه القيمة تساوي طاقة حركة كتلة مفترضة مقدارها $m/3$ تتحرك بنفس سرعة الطرف الحر ($\frac{1}{2}(m/3)v^2$).

  6. بمساواة الطاقة الكلية (الوضع + الحركة) عند الوضع الأوسط وأقصى إزاحة، نصل للمعادلة النهائية:

     $t_p=2\pi \sqrt{\frac{M+\frac{m}{3}}{S}}$

6. إثبات طريقة السطح المعلق بثلاثة خيوط (مثال 2-6)

• الهدف: إيجاد قانون يحسب عزم القصور الذاتي عملياً29.

• الاستنتاج:

  1. عند تدوير السطح بزاوية صغيرة $\theta$، تميل خيوط التعليق بزاوية $\varphi$. العلاقة الهندسية بينهما (طول القوس):

     $r\theta =l\varphi \Rightarrow \varphi =\frac{r}{l}\theta$

  2. تنشأ مركبة أفقية للشد في الخيوط تعمل كقوة إرجاع. الشد الرأسي في كل خيط هو $mg/3$. المركبة المماسية $\approx \frac{mg}{3}\sin \varphi \approx \frac{mg}{3}\varphi$31.

  3. العزم الكلي للإرجاع (لـ 3 خيوط) = $3\times \text{القوة}\times \text{نصف القطر }r$:

     $\text{Torque}=3\left(\frac{mg}{3}\varphi \right)r=mgr\varphi$

  4. بالتعويض عن $\varphi$:

     $\text{Torque}=mgr\left(\frac{r}{l}\theta \right)=\frac{mg{r}^2\theta }{l}$

  5. مساواة العزم بـ $I\alpha$:

     $\frac{mg{r}^2\theta }{l}=I\alpha$

  6. الزمن الدوري:

     $t_p=2\pi \sqrt{\frac{Il}{mg{r}^2}}$