_باب السيور

السؤال الأول

تمام، ولا يهمك. حأشرح ليك المسألة دي بالدارجي وببساطة شديدة كأني بحكي ليك قصة، عشان تفهم الفكرة الهندسية والرياضية وراها بدون أي تعقيد.

اعتبر نفسك واقف في الميناء، وشايف ليك “بكرة” كبيرة (زي العجلة) بتلف، وملفوف حولها حبل بيجر سفينة.

---

أول حاجة: نفهم المعطيات (شنو عندنا في يدنا؟)

1. قطر الخطاف (Bollard/Capstan): $500\text{ mm}$.
   • تنبيه: نحنا في الفيزياء ما بنشتغل بالمليمتر، لازم نحولها لمتر. يعني نقسم على 1000.
   • القطر ($d$) = $0.5\text{ m}$.
   • نص القطر ($r$) = $0.25\text{ m}$ (لأننا حنحتاجه بعدين).
2. سرعة الدوران ($N$): $30\text{ rev/min}$.
   • يعني البكرة دي بتلف 30 لفة كاملة في الدقيقة الواحدة.
3. عدد اللفات ($n$): الحبل ملفوف 3 لفات كاملة حول الخطاف.
4. معامل الاحتكاك ($\mu$): $0.25$ (دا رقم بيورينا الحبل خشن قدر شنو مع الحديد).
5. الشد في الطرف الحر ($T_2$): $100\text{ N}$.
   • دا الطرف اللي بيمسكه العامل بيده، يعني شد ضعيف يا دوب $100$ نيوتن.

---

المطلوب (أ): قوة جر السفينة ($T_1$)

هنا السحر كله! كيف شد بسيط ($100$ نيوتن) يقدر يجر سفينة ضخمة؟ السر في “اللفات” والاحتكاك. كل ما تلف الحبل أكتر، القوة بتتضاعف بشكل جنوني.

القانون اللي بيحكم الحكاية دي اسمه معادلة السيور (Belt Friction Equation): $T_1=T_2\times e^{(\mu \times \theta )}$

• $T_1$: القوة الكبيرة (ناحية السفينة).
• $T_2$: القوة الصغيرة (ناحية العامل) = $100$.
• $e$: دا رقم ثابت في الآلة الحاسبة (أويلر).
• $\mu$: الاحتكاك = $0.25$.
• $\theta$: زاوية اللف (بالراديان).

الخطوة 1: نجيب الزاوية $\theta$ الحبل لف 3 لفات. اللفة الواحدة عبارة عن دايرة كاملة ($2\pi$). يبقى الزاوية الكلية: $\theta =3\times 2\pi =6\pi$

الخطوة 2: نعوض في القانون الأس (اللي فوق الـ $e$) حيكون: $0.25\times 6\pi =1.5\pi \approx 4.712$

يلا نحسب القوة الكبيرة: $T_1=100\times e^{4.712}$ $T_1=100\times 111.27$ $T_1=11127\text{ N}$

عشان الرقم كبير، بنقسمه على 1000 عشان يبقى بالكيلو نيوتن (kN): $T_1=11.1\text{ kN}$

الخلاصة: العامل بيشد بـ 100 نيوتن بس، والماكينة بفضل اللفات والاحتكاك بتضاعف القوة دي لـ 11 ألف نيوتن عشان تجر السفينة!

---

المطلوب (ب): القدرة اللازمة ($P$)

القدرة (Power) يعني الموتور دا محتاج “عضلات” قدر شنو عشان يلف ويجر الحبل دا. القانون ببساطة: القدرة = (الفرق بين القوتين) × سرعة الحبل

$P=(T_1-T_2)\times v$

الخطوة 1: نجيب سرعة الحبل ($v$) السرعة هي: محيط البكرة × عدد اللفات في الثانية.

• محيط البكرة = $\pi \times d=\pi \times 0.5$.
• عدد اللفات في الثانية = هو ادانا 30 لفة في الدقيقة، نقسم على 60 عشان تبقى ثانية: $30/60=0.5$ لفة في الثانية.

السرعة ($v$) = $\pi \times 0.5\times 0.5=0.7854\text{ m/s}$.

الخطوة 2: نعوض في قانون القدرة الفرق بين القوتين (القوة اللي بتجر السفينة ناقص القوة اللي في يد العامل): $11127-100=11027\text{ N}$

القدرة ($P$) = $11027\times 0.7854$ $P=8660\text{ Watts}$

نقسم على 1000 عشان تبقى بالكيلو واط (kW): $P=8.66\text{ kW}$

---

ملخص سريع عشان تثبت في الراس:

1. عشان تجيب قوة جر السفينة: اضرب قوة يد العامل في ($e$ أس (الاحتكاك × زاوية اللفات)).
2. عشان تجيب القدرة: اضرب (الفرق بين القوتين) في (سرعة دوران الحبل بالمتر/ثانية).

أها كدا وقعت ليك ولا نعيد تاني؟

---

السؤال الثاني

ابشر يا هندسة، نشرحها ليك “شرح حمير” زي ما طلبت (مع احترامي ليك طبعاً)، يعني نفصصها حتة حتة بالدارجي عشان تدخل الراس وما تمرق تاني.

المسألة دي فيها “خدعة” صغيرة زيادة عن اللي فاتت، وهي إن السير (الجلد) عنده وزن وسرعته عالية، فبتظهر قوة اسمها قوة الطرد المركزي (Centrifugal Force). دي عاملة زي “الضريبة” اللي لازم تدفعها قبل ما تشوف السير بيقدر يجر قدر شنو.

يلا نمشي خطوة خطوة:

---

1. نظافة الشغل (تجهيز المعطيات)

أي رقم بالمليمتر (mm) ارميهو في الزبالة، نحنا بنشتغل بالمتر (m). وأي زاوية بالدرجات نحولها راديان.

• عرض السير ($b$): $125\text{ mm}÷1000=0.125\text{ m}$.
• سمك السير ($t$): $6\text{ mm}÷1000=0.006\text{ m}$.
• قطر الطارة ($d$): $750\text{ mm}÷1000=0.75\text{ m}$.
• زاوية اللف ($\theta$): $150^{\circ }$. عشان تحولها راديان اضرب في ($\pi /180$). $150\times \frac{\pi }{180}=2.618\text{ rad}$
• السرعة ($N$): $500\text{ rev/min}$.
• الكثافة ($\rho$): قال ليك $1{\text{ Mg/m}}^3$. الـ Mg دي (ميقا جرام) يعني طن، يعني $1000{\text{ kg/m}}^3$.
• الإجهاد المسموح ($\sigma$): $2.75{\text{ MN/m}}^2$. الـ M دي يعني مليون ($10^6$).

---

2. نجيب سرعة السير ($v$)

السير دا بيمشي كم متر في الثانية؟ $v=\frac{\pi \times d\times N}{60}$ $v=\frac{\pi \times 0.75\times 500}{60}=19.635\text{ m/s}$ السرعة دي عالية، عشان كدا لازم نحسب “الضريبة” (قوة الطرد المركزي).

---

3. نحسب كتلة المتر الواحد ($m$)

عشان نعرف السير تقيل قدر شنو، لازم نضرب (الكثافة $\times$ العرض $\times$ السمك). $m=\rho \times b\times t$ $m=1000\times 0.125\times 0.006=0.75\text{ kg/m}$ يعني كل متر من السير دا وزنه كيلو إلا ربع.

---

4. نحسب “الضريبة” ($T_c$)

دي القوة الضائعة بسبب دوران السير بسرعة (قوة الطرد المركزي): $T_c=m\times v^2$ $T_c=0.75\times (19.635{)}^2=289\text{ N}$ الـ 289 نيوتن دي “محجوزة”، ما بنقدر نستخدمها في نقل القدرة.

---

5. نحسب القوة الكلية المسموح بيها ($T_{max}$)

السير دا بيستحمل شد قدر شنو قبل ما يتقطع؟ القانون بيقول: القوة = الإجهاد $\times$ المساحة. المساحة ($A$) = عرض $\times$ سمك = $0.125\times 0.006=0.00075{\text{ m}}^2$.

$T_{max}=\sigma \times A$ $T_{max}=2.75\times 10^6\times 0.00075=2062.5\text{ N}$ دا أقصى شد السير بيستحمله.

---

6. نجيب الشد الفعلي ($T_1$) والشد المرخى ($T_2$)

هنا التركة الكبيرة! الشد اللي بيقوم بالشغل ($T_1$) هو الشد الأقصى ناقص الضريبة ($T_c$). $T_1=T_{max}-T_c$ $T_1=2062.5-289=1773.5\text{ N}$

أها، جبنا $T_1$، كيف نجيب $T_2$؟ بقانون السيور المعروف: $\frac{T_1}{T_2}=e^{\mu \theta }$ الأس حيكون: $0.3\times 2.618=0.7854$. قيمة $e^{0.7854}$ بالآلة الحاسبة بتطلع حوالي $2.193$.

إذن: $T_2=\frac{T_1}{2.193}=\frac{1773.5}{2.193}=808.6\text{ N}$

---

7. الخطوة الأخيرة: القدرة ($P$)

القدرة هي الفرق بين الشدين مضروب في السرعة. $P=(T_1-T_2)\times v$ الفرق بين الشدين: $1773.5-808.6=964.9\text{ N}$.

$P=964.9\times 19.635$ $P=18945\text{ Watts}$

عشان الجواب يبقى ظريف وبالكيلو واط، نقسم على 1000: $P=18.94\text{ kW}$

نفس الجواب المكتوب في الورقة بالملي!

---

ملخص سريع ليك:

1. جهز الوحدات (متر وراديان).
2. جيب السرعة $v$.
3. احسب “الضريبة” ($T_c=m{v}^2$) واخصمها من القوة القصوى عشان تجيب $T_1$.
4. استخدم قانون $e^{\mu \theta }$ عشان تجيب $T_2$.
5. اضرب فرق القوتين في السرعة ومبروك عليك الحل.

أواصل ليك في المسألة البعدها؟

---

السؤال الثالث

أبشر يا هندسة، المسألة دي فكرتها سمحة شديد. هي عبارة عن مقارنة بين حالتين: “قبل التعديل” و”بعد التعديل”.

الفكرة: كان عندنا سيستم شغال بقدرة معينة، قمنا ركبنا ليهو حاجة اسمها “بكرة شداد” (Idler Pulley) عشان تزيد زاوية اللف وتخلي السير يمسك أحسن. السؤال هو: الحركة دي زادت لينا القدرة بـ كم؟

يلا نفصصها بـ “شرح الحمير” زي ما اتفقنا:

---

أول شي: نظافة الشغل (تجهيز المعطيات)

1. السرعة ($v$): $20\text{ m/s}$.
2. كتلة المتر ($m$): $0.75\text{ kg/m}$.
3. الشد الأقصى ($T_{total}$): $1.35\text{ kN}$ يعني $1350\text{ N}$. (دا أقصى شي السير بيستحمله).
4. القدرة القديمة ($P_1$): $10\text{ kW}$ يعني $10,000\text{ Watts}$.
5. الزاوية القديمة (${\theta }_1$): $150^{\circ }$.
   • نحولها راديان طوالي: $150\times (\pi /180)=2.618\text{ rad}$.
6. الزاوية الجديدة (${\theta }_2$): $210^{\circ }$.
   • نحولها راديان: $210\times (\pi /180)=3.665\text{ rad}$.

---

الخطوة 1: نحسب “الضريبة” الثابتة (قوة الطرد المركزي)

بما إن السرعة والكتلة ثابتين في الحالتين، نحسب القوة الضائعة ($T_c$) ونخلص منها. $T_c=m\times v^2$ $T_c=0.75\times (20{)}^2=0.75\times 400=300\text{ N}$

الـ 300 نيوتن دي ضايعة ضايعة، بنخصمها من الشد الأقصى عشان نعرف “الشد الصافي” اللي بيجر المكنة ($T_1$). $T_1=T_{total}-T_c$ $T_1=1350-300=1050\text{ N}$ ركز هنا: الـ $T_1$ دي حتكون ثابتة في الحالتين لأن المسألة قالت “عند نفس إجهاد الشد الأقصى”.

---

الخطوة 2: نحلل “الوضع القديم” عشان نلقى المجهول (المعامل $\mu$)

نحنا عندنا القدرة القديمة، لكن ما عارفين معامل الاحتكاك ($\mu$) كم. لازم نجيبه عشان نستخدمه في الوضع الجديد.

1. نجيب $T_2$ القديمة من قانون القدرة: $P=(T_1-T_2)\times v$ $10,000=(1050-T_2)\times 20$ نقسم 10,000 على 20: $500=1050-T_2$ معناها: $T_2=1050-500=550\text{ N}$.

2. هسي نجيب معامل الاحتكاك ($\mu$) من قانون النسب: $\frac{T_1}{T_2}=e^{\mu {\theta }_1}$ $\frac{1050}{550}=1.909$ يعني: $e^{\mu \times 2.618}=1.909$

   عشان نطلع الـ $\mu$، ناخد ln للطرفين: $\mu \times 2.618=\ln (1.909)$ $\mu \times 2.618=0.6466$ $\mu =0.6466/2.618=0.247$

   كدا جبنا “سر الخلطة” ($\mu =0.247$).

---

الخطوة 3: نحلل “الوضع الجديد” (بعد ركبنا الشداد)

في الوضع الجديد، الزاوية زادت بقت $210^{\circ }$ ($3.665\text{ rad}$). والـ $T_1$ لسه ثابتة ($1050$). والـ $\mu$ جبناها ($0.247$). يلا نشوف الـ $T_2$ الجديدة حتبقى كم (حنسميها $T_2^{\prime }$).

1. نحسب النسبة الجديدة: $\frac{T_1}{T_2^{\prime }}=e^{\mu {\theta }_2}$ الأس: $0.247\times 3.665=0.905$ $e^{0.905}=2.472$

   يعني: $\frac{1050}{T_2^{\prime }}=2.472$ $T_2^{\prime }=1050/2.472=424.75\text{ N}$

   شايف؟ لأن الزاوية زادت، المسكة بقت قوية، فقدرنا نرخى الحبل من الجهة التانية أكتر ($424$ بدل $550$) بدون ما ينزلق.

2. نحسب القدرة الجديدة ($P_{new}$): $P_{new}=(T_1-T_2^{\prime })\times v$ $P_{new}=(1050-424.75)\times 20$ $P_{new}=625.25\times 20=12,505\text{ Watts}$

   بالكيلو واط: $P_{new}=12.505\text{ kW}$

---

الخطوة 4: الزبدة (الزيادة كم؟)

المطلوب هو “الزيادة التي يمكن تحقيقها”. الزيادة = القدرة الجديدة - القدرة القديمة $12.505-10=2.505\text{ kW}$

الجواب النهائي: $2.5\text{ kW}$

نفس جواب الكتاب بالملي! أها، الشرح “الحميري” دا كيف معاك؟ 😂

---

السؤال الرابع

أبشر، دي مسألة فيها “قاعدة ذهبية” لازم تحفظها زي اسمك، لأنها مفتاح الحل لأي مسألة يقول ليك فيها “أوجد أقصى قدرة” (Maximum Power).

في المسائل الفاتت، كان بيديك السرعة جاهزة. هنا لا، قال ليك انت وريني ياتو سرعة بتديني أحسن شغل (أقصى قدرة).

يلا نمشي حبة حبة بـ “شرح الحمير” المعهود:

---

1. نظافة الشغل (تجهيز المعطيات)

• العرض ($b$): $100\text{ mm}\to 0.1\text{ m}$.
• السمك ($t$): $6\text{ mm}\to 0.006\text{ m}$.
• الكثافة ($\rho$): $1\text{ Mg}\to 1000{\text{ kg/m}}^3$.
• الزاوية ($\theta$): $120^{\circ }$. نحولها راديان: $120\times (\pi /180)=2.094\text{ rad}$
• معامل الاحتكاك ($\mu$): $0.3$.
• الإجهاد الأقصى ($\sigma$): $1.5{\text{ MN/m}}^2\to 1,500,000{\text{ N/m}}^2$.

---

2. نحسب كتلة المتر ($m$) والشد الأقصى ($T_{max}$)

ديل حاجات أساسية لازم تكون في يدك قبل ما تبدأ.

• كتلة المتر الواحد ($m$): $m=\text{الكثافة}\times \text{العرض}\times \text{السمك}$ $m=1000\times 0.1\times 0.006=0.6\text{ kg/m}$

• أقصى شد بيستحمله السير ($T_{max}$): $T_{max}=\text{الإجهاد}\times \text{المساحة}$ $T_{max}=1,500,000\times (0.1\times 0.006)$ $T_{max}=900\text{ N}$ (السير دا لو شديته بأكتر من 900 نيوتن بيتقطع).

---

3. السر الخطير: “شرط أقصى قدرة”

لمن يطلب منك “أقصى قدرة”، طوالي خت القاعدة دي:

عشان نحصل على أقصى قدرة، لازم ثلث (1/3) القوة القصوى يضيع في الطرد المركزي.

يعني قوة الطرد المركزي ($T_c$) لازم تساوي: $T_c=\frac{T_{max}}{3}$ $T_c=\frac{900}{3}=300\text{ N}$

وبالتالي، القوة الباقية عشان تجر المكنة ($T_1$) حتكون الباقي (الثلثين): $T_1=900-300=600\text{ N}$

---

4. المطلوب الأول: السرعة المناظرة ($v$)

بما إننا عرفنا إن $T_c$ لازم تكون $300$، ونحنا عارفين قانون $T_c$: $T_c=m\times v^2$ نعوض ونحل: $300=0.6\times v^2$ نقسم على 0.6: $v^2=\frac{300}{0.6}=500$ ناخد الجذر التربيعي: $v=\sqrt{500}=22.36\text{ m/s}$ دا المطلوب الأول، ونفس جواب الكتاب.

---

5. المطلوب الثاني: أقصى قدرة ($P$)

عشان نحسب القدرة، لازمنا القوة الصغيرة ($T_2$). نستخدم قانون السيور: $\frac{T_1}{T_2}=e^{\mu \theta }$

1. نحسب الأس: $\mu \times \theta =0.3\times 2.094=0.628$.
2. نحسب القيمة بالآلة الحاسبة: $e^{0.628}\approx 1.874$.
3. نعوض قيمة $T_1$ (اللي هي 600): $\frac{600}{T_2}=1.874$ $T_2=\frac{600}{1.874}=320.17\text{ N}$

أخيراً، نحسب القدرة: $P=(T_1-T_2)\times v$ $P=(600-320.17)\times 22.36$ $P=279.83\times 22.36$ $P=6257\text{ Watts}$

نقسم على 1000: $P=6.26\text{ kW}$

---

الزيت (الخلاصة):

1. نظف الوحدات.
2. احسب كتلة المتر ($m$) والشد الأقصى ($T_{max}$).
3. أول ما يقول “أقصى قدرة”، اقسم $T_{max}$ على 3، الناتج دا هو ($T_c$).
4. من $T_c$ جيب السرعة ($v$).
5. اطرح $T_c$ من الشد الأقصى عشان تجيب $T_1$.
6. جيب $T_2$ بالقانون العادي، واحسب القدرة.

أمورك كدا طيبة؟

---

السؤال الخامس

ابشر يا هندسة، المسألة رقم 5 دي فيها “شوّة” بهارات زيادة، وهي عبارة عن “الحبل المضلع” (Rope Drive) و “زاوية الحز”.

الفرق هنا إن الحبل ما قاعد في سطح أملس، لا، دا غاطس جوة مجرى (حفرة) على شكل مثلث، والحركة دي بتخلي الحبل “يعضّي” في الطارة وتزيد الاحتكاك شديد.

يلا نمشي بنفس طريقتنا “شرح الحمير” خطوة خطوة:

---

1. نظافة الشغل (تجهيز المعطيات)

• أقطار الطارتين: الكبيرة $3\text{ m}$ والصغيرة $2\text{ m}$.
  • نص قطر الكبيرة ($R_1$) = $1.5\text{ m}$.
  • نص قطر الصغيرة ($R_2$) = $1\text{ m}$.
• المسافة بينهما ($C$): $4.5\text{ m}$.
• كتلة الحبل ($m$): $4\text{ kg/m}$.
• زاوية الحز ($2\beta$): $40^{\circ }$ $\leftarrow$ معناها زاوية الميل الواحد ($\beta$) = $20^{\circ }$.
• أقصى شد ($T_{max}$): $20\text{ kN}$ يعني $20,000\text{ N}$.
• معامل الاحتكاك العادي ($\mu$): $0.2$.

---

2. التركة الأولى: “الاحتكاك الوهمي”

بما إن الحبل غاطس في مجرى، الاحتكاك بيزيد. بنحسب حاجة اسمها “معامل الاحتكاك الفعال”: $\text{الاحتكاك الجديد}=\frac{\text{الاحتكاك القديم}}{\sin (\text{نص الزاوية})}$ ${\mu }_{eff}=\frac{0.2}{\sin (20^{\circ })}$ ${\mu }_{eff}=\frac{0.2}{0.342}=0.585$ شايف؟ الاحتكاك نط من 0.2 لـ 0.585 بسبب المجرى!

---

3. التركة الثانية: “زاوية اللف” ($\theta$)

الطارتين ما قد بعض، والمسافة بينهم معروفة، فلازم نحسب الزاوية بالهندسة (ما $180$ درجة). أول شي نجيب زاوية الميلان ($\alpha$): $\sin (\alpha )=\frac{R_1-R_2}{C}$ $\sin (\alpha )=\frac{1.5-1}{4.5}=\frac{0.5}{4.5}=0.111$ نعمل شيفت ساين (${\sin }^{-1}$): $\alpha =6.38^{\circ }$

زاوية اللف على الطارة الصغيرة: $\theta =180-2\alpha$ $\theta =180-(2\times 6.38)=167.24^{\circ }$ نحولها راديان طوالي (عشان القانون ما بيقبل درجات): $\theta =167.24\times \frac{\pi }{180}=2.92\text{ rad}$

---

4. التركة الثالثة: “أقصى قدرة” (نفس المسألة الفاتت)

أول ما تشوف “أقصى قدرة”، اتذكر القاعدة الذهبية: تلت القوة رايح في الطرد المركزي.

• قوة الطرد المركزي ($T_c$): $T_c=\frac{T_{max}}{3}=\frac{20000}{3}=6666.67\text{ N}$

• القوة الفعالة ($T_1$): $T_1=20000-6666.67=13333.33\text{ N}$

---

5. المطلوب الأول: السرعة ($N$) للطارة الصغيرة

عشان نجيب سرعة الدوران ($N$)، لازم أول نجيب سرعة الحبل ($v$) من قانون الطرد المركزي: $T_c=m\times v^2$ $6666.67=4\times v^2$ $v^2=\frac{6666.67}{4}=1666.67$ $v=\sqrt{1666.67}=40.82\text{ m/s}$

هسي نجيب الـ RPM للطارة الصغيرة (قطرها $2$ متر): $v=\frac{\pi \times d\times N}{60}$ $40.82=\frac{\pi \times 2\times N}{60}$ $N=\frac{40.82\times 60}{2\pi }=390\text{ rev/min}$ (دا الجواب الأول)

---

6. المطلوب الثاني: أقصى قدرة ($P$)

عشان نحسب القدرة، لازم نجيب الشد الصغير ($T_2$). نستخدم قانون السيور (بالمعامل الجديد والزاوية الجديدة): $\frac{T_1}{T_2}=e^{{\mu }_{eff}\times \theta }$ الأس: $0.585\times 2.92=1.708$ قيمة $e^{1.708}\approx 5.52$

إذن: $T_2=\frac{T_1}{5.52}=\frac{13333.33}{5.52}=2415\text{ N}$

القدرة: $P=(T_1-T_2)\times v$ $P=(13333.33-2415)\times 40.82$ $P=10918\times 40.82=445,672\text{ Watts}$

نقسم على 1000: $P=445.6\text{ kW}$ (دا الجواب الثاني)

---

الزيت (الخلاصة):

1. المجرى: بيقسم الاحتكاك على $\sin (\text{نص الزاوية})$.
2. المسافة: بتخلينا نحسب الزاوية بقانون الـ $\sin$، ما 180 ساكت.
3. أقصى قدرة: $T_c$ هي تلت الشد الكلي.
4. الباقي تعويض مباشر قوانين.

أها، كدا الخمسة مسائل بقوا في جيبك! أي خدمة تانية؟

---