network

الدليل المرجعي الشامل في تحليل وتوليف الشبكات الكهربائية: من النطاق الزمني إلى التوليف المتقدم

1. مقدمة: الفلسفة الهندسية وراء تحليل الشبكات

تُعد دراسة الدوائر الكهربائية والشبكات (Network Theory) الركيزة الأساسية التي تقوم عليها الهندسة الكهربائية والإلكترونية الحديثة. لا يقتصر الأمر على حل المعادلات لإيجاد التيارات والجهود، بل يتعداه لفهم سلوك الأنظمة الديناميكية، واستقرارها، وكيفية “تخليق” أو “توليف” دوائر جديدة تحقق استجابة ترددية محددة مسبقاً. هذه المذكرة صُممت لتكون مرجعاً احترافياً يعين الطالب على استيعاب المفاهيم العميقة في تحليل المجال الترددي (s-Domain Analysis)، ومعايير الاستقرار (Stability)، وطرق توليف الشبكات (Network Synthesis) المتقدمة، بأسلوب يضمن الفهم الدقيق والقدرة على حل أعقد المسائل الامتحانية.1

ينتقل المهندس في هذا المساق من دور “المحلل” الذي يدرس دائرة موجودة، إلى دور “المصمم” الذي يبني الدائرة من الصفر بناءً على معادلة رياضية، وهو ما يعرف بتوليف الشبكات. ولتحقيق ذلك، يجب أولاً إتقان أدوات التحليل الرياضي المتمثلة في تحويل لابلاس والتردد المركب.

---

2. تحليل الدوائر في النطاق الترددي المركب (s-Domain Analysis)

2.1 مفهوم التردد المركب (Complex Frequency)

في التحليل التقليدي للتيار المتردد (AC Analysis)، نتعامل مع إشارات جيبية مستقرة ذات تردد زاوي حقيقي $\omega$. لكن الإشارات في الواقع قد تكون متلاشية (Damped) أو متزايدة (Growing). هنا تبرز الحاجة لتعميم مفهوم التردد. يُعرف التردد المركب $s$ بالمعادلة:

$s=\sigma +j\omega$

حيث يمثل الجزء الحقيقي $\sigma$ (سيغما) معامل التخميد أو التلاشي (Neper frequency)، ويمثل الجزء التخيلي $\omega$ التردد الزاوي للتذبذب. هذا المفهوم يسمح لنا بتمثيل أي إشارة، سواء كانت ثابتة (DC حيث $s=0$)، أو جيبية (AC حيث $s=j\omega$)، أو أسية (Exponential حيث $s=\sigma$)، أو جيبية متلاشية (Damped Sinusoid).3

2.2 تحويل العناصر من النطاق الزمني إلى النطاق s

يكمن جوهر التحليل في المجال $s$ في تحويل المعادلات التفاضلية التي تصف العناصر التخزينية (المكثفات والملفات) إلى معادلات جبرية خطية. يتم ذلك باستخدام تحويل لابلاس، مما يسمح بالتعامل مع الممانعات (Impedances) بدلاً من المشتقات والتكاملات.

أ. المقاومة (Resistor)

العلاقة في الزمن هي قانون أوم: $v(t)=Ri(t)$.

عند أخذ تحويل لابلاس، تصبح: $V(s)=RI(s)$.

بما أن المقاومة عنصر مبدد للطاقة ولا يخزنها، فإن قيمتها لا تعتمد على التردد، وتظل $R$ في المجالين.2

ب. الملف (Inductor)

العلاقة الزمنية هي: $v(t)=L\frac{di(t)}{dt}$.

باستخدام خاصية التفاضل في لابلاس:

$V(s)=L[sI(s)-i(0^{-})]=sLI(s)-Li(0^{-})$

هنا تظهر “بصيرة” هندسية هامة:

1. الشق الممانع: الحد $sL$ يمثل ممانعة الملف التي تزداد طردياً مع التردد.

2. الشق المصدري: الحد $Li(0^{-})$ يمثل الطاقة المغناطيسية المخزنة مبدئياً في الملف. في الدوائر المكافئة، يظهر هذا الحد كمصدر جهد قيمته $Li(0^{-})$ موصل على التوالي مع الممانعة $sL$، وقطبيته تعاكس اتجاه التيار المار.1

ج. المكثف (Capacitor)

العلاقة الزمنية هي: $i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}$ أو بصورة تكاملية $v(t)=\frac{1}{C}\int i(t)dt+v(0^{-})$.

في مجال $s$:

$V(s)=\frac{1}{sC}I(s)+\frac{v(0^{-})}{s}$

التحليل الفيزيائي للمعادلة:

1. الشق الممانع: الحد $\frac{1}{sC}$ يمثل ممانعة المكثف التي تتناقص مع زيادة التردد.

2. الشق المصدري: الحد $\frac{v(0^{-})}{s}$ يمثل الجهد الابتدائي المخزن. لاحظ القسمة على $s$، مما يعني أنه يمثل دالة خطوة (Step Function) في الزمن، ويظهر في الدائرة كمصدر جهد موصل على التوالي مع المكثف.4

جدول ملخص لتحويل العناصر (للحفظ والفهم):

العنصر	الممانعة Z(s) (بدون شروط ابتدائية)	النموذج مع الشروط الابتدائية (توالي)	النموذج مع الشروط الابتدائية (توازي)
R	$R$	مقاومة $R$	مقاومة $R$
L	$sL$	ممانعة $sL$ + مصدر جهد $Li(0)$	ممانعة $sL$ // مصدر تيار $i(0)/s$
C	$\frac{1}{sC}$	ممانعة $\frac{1}{sC}$ + مصدر جهد $v(0)/s$	ممانعة $\frac{1}{sC}$ // مصدر تيار $Cv(0)$

2.3 دوال الشبكة (Network Functions) وتصنيفها

دالة الشبكة $H(s)$ هي الوصف الرياضي الشامل للنظام الخطي، وتعرف بأنها النسبة بين استجابة النظام (الخرج) والإثارة (الدخل) في ظل شروط ابتدائية صفرية.

تصنيف دوال الشبكة:

1. دوال نقطة القيادة (Driving Point Functions):

   هي الدوال التي تُعرف عند منفذ (Port) واحد فقط، وتمثل العلاقة بين الجهد والتيار عند نفس المنفذ.

   • ممانعة نقطة القيادة (Input Impedance): $Z_{in}(s)=V_1(s)/I_1(s)$.

   • مسايرة نقطة القيادة (Input Admittance): $Y_{in}(s)=I_1(s)/V_1(s)$.

   • الخاصية الجوهرية: لكي تكون الدالة قابلة للتحقيق (Realizable) كشبكة سلبية (Passive)، يجب أن تكون دالة موجبة حقيقية (Positive Real Function - PRF)، وهو ما سنفصله في فصل التوليف.2

2. دوال التحويل (Transfer Functions):

   تصف العلاقة بين كمية في منفذ (الدخل) وكمية في منفذ آخر (الخرج).

   • كسب الجهد (Voltage Gain): $G_{21}(s)=V_2(s)/V_1(s)$.

   • ممانعة التحويل (Transfer Impedance): $Z_{21}(s)=V_2(s)/I_1(s)$.

   • مسايرة التحويل (Transfer Admittance): $Y_{21}(s)=I_2(s)/V_1(s)$.

2.4 الأقطاب والأصفار: الحمض النووي للدائرة

يمكن كتابة أي دالة شبكة على صورة كسر نسبي (Rational Function):

$H(s)=K\frac{N(s)}{D(s)}=K\frac{(s-z_1)(s-z_2)\dots (s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\dots (s-p_n)}$

• الأصفار (Zeros - $z_i$): هي جذور البسط $N(s)=0$. عند هذه الترددات المركبة، تصبح قيمة الدالة صفراً. فيزيائياً، هذا يعني أن الدائرة تمنع مرور الإشارة عند هذا التردد (Transmission Zero).

• الأقطاب (Poles - $p_i$): هي جذور المقام $D(s)=0$. عند هذه القيم، تذهب الدالة إلى اللانهاية. فيزيائياً، الأقطاب تمثل الترددات الطبيعية (Natural Frequencies) للنظام. إذا تم تحفيز النظام عند أحد أقطابه، فإن الاستجابة تكون رنيناً نظرياً لا نهائياً (أو استجابة حرة).2

التفسير الفيزيائي لمواقع الأقطاب:

1. القطب في النصف الأيسر (LHP): يمثل استجابة متلاشية مستقرة ($e^{-\alpha t}$).

2. القطب في النصف الأيمن (RHP): يمثل استجابة متزايدة غير مستقرة ($e^{+\alpha t}$).

3. القطب على المحور التخيلي ($j\omega$): يمثل ذبذبة مستمرة غير متلاشية (Oscillation)، وهو ما يميز دوائر LC المثالية.8

---

3. تحليل الاستقرار: معيار راوث-هرويتز (Routh-Hurwitz Stability Criterion)

الاستقرار هو الشرط الأهم لأي نظام هندسي. النظام المستقر هو الذي يعود إلى حالة الاتزان بعد زوال المؤثر، أو تكون استجابته محدودة لدخل محدود (BIBO Stability). لتحديد الاستقرار، نحتاج لمعرفة ما إذا كانت هناك أي أقطاب تقع في النصف الأيمن من مستوى $s$. معيار راوث يوفر طريقة جبرية ذكية للإجابة على هذا السؤال دون الحاجة لحل معادلات من الدرجات العليا.

3.1 الشروط الضرورية للاستقرار

قبل الشروع في بناء جدول راوث، يجب فحص المعادلة المميزة (Characteristic Equation):

$Q(s)=a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0=0$

لكي يكون النظام مستقراً، يجب أن يتحقق شرطان “بالنظر”:

1. جميع المعاملات $a_i$ يجب أن تكون موجودة (لا يوجد معامل يساوي صفر، إلا في حالات خاصة جداً).

2. جميع المعاملات يجب أن تكون موجبة الإشارة.

   إذا اختل أي من هذين الشرطين، فالنظام غير مستقر (أو حرج الاستقرار في أفضل الأحوال)، ولا داعي لإكمال الجدول.7

3.2 بناء جدول راوث (Routh Array)

يتم ترتيب المعاملات في مصفوفة كالتالي:

• الصف الأول ($s^n$): نضع المعامل الأول، نترك الثاني، نأخذ الثالث… ($a_n,a_{n-2},a_{n-4},\dots$).

• الصف الثاني ($s^{n-1}$): نضع المعاملات المتبقية ($a_{n-1},a_{n-3},a_{n-5},\dots$).

• الصفوف التالية: يتم حساب كل عنصر $b_1,b_2,\dots$ باستخدام قاعدة المحدد السالب للصفين السابقين مقسوماً على العنصر الأول في الصف السابق مباشرة (Pivot element).

الصيغة العامة للعنصر $b_1$ (أول عنصر في الصف الثالث):

$b_1=\frac{a_{n-1}{a}_{n-2}-a_n{a}_{n-3}}{a_{n-1}}$

نستمر حتى نصل للصف $s^0$.

قاعدة القرار:

النظام مستقر فقط إذا كانت جميع عناصر العمود الأول موجبة. عدد مرات تغير الإشارة في العمود الأول يساوي تماماً عدد الأقطاب الموجودة في النصف الأيمن (RHP)، أي عدد جذور عدم الاستقرار.2

3.3 الحالات الخاصة والتعامل معها (موضع أسئلة الامتحانات)

الحالة الأولى: صفر في العمود الأول (Zero in the First Column)

إذا ظهر صفر في العمود الأول، بينما بقية الصف تحتوي على عناصر غير صفرية، تواجهنا مشكلة القسمة على صفر عند حساب الصف التالي.

• التحليل: وجود الصفر يعني وجود زوج من الجذور التخيلية أو جذور تحقق شرطاً معيناً، لكن عدم وجود صف كامل من الأصفار يعني أن هذه الجذور ليست متناظرة تماماً حول نقطة الأصل بنفس الطريقة التقليدية، بل هي حالة رياضية تتطلب معالجة خاصة.

• طريقة الحل (طريقة $ϵ$):

  1. نستبدل الصفر بقيمة موجبة متناهية الصغر $ϵ$.

  2. نكمل حسابات الجدول كالمعتاد بدلالة $ϵ$.

  3. في النهاية، نأخذ النهاية عندما $ϵ\to 0$ من الجهة الموجبة.

  4. نفحص إشارات العمود الأول. إذا تغيرت الإشارة “فوق” و”تحت” الـ $ϵ$، فهذا يعني عدم استقرار.11

مثال تطبيقي (حالة الصفر الأول):

لنعتبر المعادلة: $s^5+2s^4+3s^3+6s^2+5s+3=0$.

الجدول سيكون:

• ء $s^5$: 1, 3, 5

• ء $s^4$: 2, 6, 3

• ء $s^3$: العنصر الأول = $\frac{2(3)-1(6)}{2}=0$.

  هنا ظهر صفر. نستبدله بـ $ϵ$.

• $s^3$: $ϵ$, 3.5 (افتراضاً للحساب), 0.

• $s^2$: نحسب الصف التالي: $c_1=\frac{6ϵ-2(3.5)}{ϵ}$. عندما $ϵ\to 0$، البسط سالب والمقام موجب صغير جداً، إذن النتيجة $-\infty$.

• الاستنتاج: تغيرت الإشارة من الموجب ($ϵ$) إلى السالب ($c_1$). إذن النظام غير مستقر، وهناك جذور في اليمين.13

الحالة الثانية: صف كامل من الأصفار (Row of Zeros)

هذه الحالة أخطر وأهم. ظهور صف كامل من الأصفار يعني أن النظام يحتوي على أقطاب متناظرة حول نقطة الأصل.

الأشكال الممكنة للتناظر:

1. جذران حقيقيان متساويان ومتضادان ($\pm \sigma$).

2. جذران تخيليان مترافقان ($\pm j\omega$) $\leftarrow$ هذا يعني تذبذباً مستمراً (Marginally Stable).

3. أربعة جذور في شكل مربع ($\pm \sigma \pm j\omega$).

• طريقة الحل (المعادلة المساعدة):

  1. نتوقف عند “صف الأصفار”.

  2. ننظر للصف الذي يسبقه مباشرة. نستخدم معاملات هذا الصف لتكوين معادلة تسمى المعادلة المساعدة (Auxiliary Equation - A(s)). هذه المعادلة تحتوي دائماً على أسس زوجية فقط ($s^4,s^2,s^0$).

  3. نقوم باشتقاق المعادلة المساعدة بالنسبة لـ $s$: $\frac{dA(s)}{ds}$.

  4. نستبدل صف الأصفار بمعاملات المعادلة المشتقة، ثم نكمل الجدول للنهاية.14

مثال عددي شامل (مهم جداً):

لندرس استقرار النظام ذو المعادلة: $s^5+7s^4+6s^3+42s^2+8s+56=0$.

1. جدول راوث:

   • $s^5$: 1, 6, 8

   • $s^4$: 7, 42, 56 (يمكن تبسيط هذا الصف بالقسمة على 7 ليصبح: 1, 6, 8).

   • $s^3$: $\frac{1(6)-1(6)}{1}=0$, $\frac{1(8)-1(8)}{1}=0$.

     ظهر صف كامل من الأصفار في $s^3$.

2. المعالجة:

   • نعود للصف $s^4$ (بعد التبسيط): المعاملات هي 1, 6, 8.

   • المعادلة المساعدة: $A(s)=1s^4+6s^2+8$.

   • نشتق المعادلة: $\frac{dA}{ds}=4s^3+12s$.

   • المعاملات الجديدة للصف $s^3$ هي: 4, 12.

3. إكمال الجدول:

   • $s^3$: 4, 12

   • $s^2$: $\frac{4(6)-1(12)}{4}=\frac{12}{4}=3$, والعنصر الثاني 8. (الصف: 3, 8).

   • $s^1$: $\frac{3(12)-4(8)}{3}=\frac{36-32}{3}=\frac{4}{3}$.

   • $s^0$: 8.

4. التحليل:

   العمود الأول: 1, 1, 4, 3, 4/3, 8. لا يوجد تغير في الإشارة.

   • الاستنتاج: لا توجد أقطاب في النصف الأيمن المفتوح. ولكن، بما أن لدينا “صف أصفار”، فهذا يعني وجود أقطاب على المحور التخيلي $j\omega$.

   • لإيجاد تردد التذبذب، نحل المعادلة المساعدة: $s^4+6s^2+8=0$.

   • نفرض $x=s^2$: $x^2+6x+8=(x+2)(x+4)=0$.

   • $s^2=-2\Rightarrow s=\pm j\sqrt{2}$.

   • $s^2=-4\Rightarrow s=\pm j2$.

   • النظام حرج الاستقرار (Marginally Stable) وسيتذبذب بترددات $\sqrt{2}$ و $2$ راديان/ثانية.16

---

4. توليف الشبكات (Network Synthesis): من الدالة إلى الدائرة

هذا الجزء هو الأكثر تحدياً وإمتاعاً في المقرر. هنا نعكس العملية: نعطيك الدالة $Z(s)$ ونطلب منك تصميم الدائرة. سنركز على طرق فوستر (Foster Forms) ونتطرق لطرق كاور (Cauer Forms).

4.1 الشروط الأساسية للدوال القابلة للتحقيق (Positive Real Functions)

ليست كل دالة رياضية يمكن تحويلها لدائرة كهربائية. الدالة $Z(s)$ يجب أن تكون “موجبة حقيقية” (Positive Real - PR)، ومن خصائصها:

1. أن تكون حقيقية عندما تكون $s$ حقيقية.

2. أن يكون الجزء الحقيقي للدالة موجباً ($Re[Z(s)]\ge 0$) عندما يكون الجزء الحقيقي لـ $s$ موجباً ($Re[s]\ge 0$). هذا يضمن أن الدائرة “سلبية” (Passive) ولا تنتج طاقة من العدم.6

4.2 توليف شبكات LC (غير المبددة - Lossless)

هذه الدوائر تحتوي فقط على ملفات ومكثفات، ولا تحتوي على مقاومات.

الخصائص المميزة لدوال LC:

1. الأقطاب ($p_i$) والأصفار ($z_i$) تقع حصرياً وبشكل بسيط (غير مكرر) على المحور التخيلي $j\omega$.

2. تتبادل الأقطاب والأصفار مواقعها (Interlacing) على المحور التخيلي.

3. يجب أن يكون هناك إما قطب أو صفر عند نقطة الأصل ($s=0$) وعند اللانهاية ($s=\infty$).

4. الدالة دائماً هي نسبة بين كثيرتي حدود، إحداهما زوجية والأخرى فردية (Odd/Even).19

طريقة فوستر الأولى لـ LC (توسيع الممانعة Z)

تعتمد على فكرة أن ممانعة الدائرة هي مجموع ممانعات أجزاء موصلة على التوالي. نقوم بعمل توسيع الكسور الجزئية لـ $Z(s)$.

الصيغة العامة:

$Z_{LC}(s)=\frac{K_0}{s}+K_{\infty }s+{\sum }_i\frac{2K_{i}s}{s^2+{\omega }_i^2}$

التفسير الفيزيائي للحدود:

• $\frac{K_0}{s}$: يمثل مكثفاً $C_0$ على التوالي، قيمته $1/K_0$. (يظهر هذا الحد إذا كان هناك قطب عند $s=0$).

• $K_{\infty }s$: يمثل ملفاً $L_{\infty }$ على التوالي، قيمته $K_{\infty }$. (يظهر إذا كان هناك قطب عند اللانهاية، أي درجة البسط > درجة المقام).

• $\frac{2K_{i}s}{s^2+{\omega }_i^2}$: يمثل دائرة رنين توازي (Tank Circuit) مكونة من $L_i$ و $C_i$ موصلين على التوازي، والمجموعة كلها موصلة على التوالي.

  • $C_i=\frac{1}{2K_i}$

  • $L_i=\frac{2K_i}{{\omega }_i^2}$.21

طريقة فوستر الثانية لـ LC (توسيع المسايرة Y)

هنا نوسع $Y(s)=1/Z(s)$. بما أن المسايرات تُجمع على التوازي، فإن الدائرة الناتجة ستكون أفرعاً متوازية.

الصيغة العامة:

$Y_{LC}(s)=\frac{K_0^{\prime }}{s}+K_{\infty }^{\prime }s+{\sum }_i\frac{2K_i^{\prime }s}{s^2+{\omega }_i^2}$

التفسير الفيزيائي:

• $\frac{K_0^{\prime }}{s}$: ملف توازي ($L=1/K_0^{\prime }$).

• $K_{\infty }^{\prime }s$: مكثف توازي ($C=K_{\infty }^{\prime }$).

• حدود الرنين: تمثل دوائر رنين توالي ($L$ و $C$ توالي) موصلة كأفرع توازي مع المصدر.21

مثال عددي دقيق (Foster I & II - LC):

لنفترض الدالة: $Z(s)=\frac{2(s^2+1)(s^2+9)}{s(s^2+4)}$.

1. التحليل المبدئي: البسط $s^4$ والمقام $s^3$. يوجد قطب عند $\infty$ (سلوك ملف) وقطب عند 0 (سلوك مكثف).

2. تطبيق Foster I (Impedance Exp.):

   $Z(s)=2s+\frac{K_0}{s}+\frac{2K_{1}s}{s^2+4}$

   • $2s\to L=2H$.

   • $K_0$: بقية المعادلة عند $s\to 0$ نضرب في $s$. ${\lim }_{s\to 0}sZ(s)=\frac{2(1)(9)}{4}=4.5$. إذن $\frac{4.5}{s}\to C=1/4.5F$.

   • الحد الأخير (عند $s^2=-4$): Residue calculation.

     الدائرة: ملف 2H توالي مع مكثف 0.22F توالي مع دائرة توازي LC.

3. تطبيق Foster II (Admittance Exp.):

   نقلب الدالة: $Y(s)=\frac{s(s^2+4)}{2(s^2+1)(s^2+9)}$.

   نطبق الكسور الجزئية على $Y(s)/s$ ثم نضرب في $s$ (أو نستخدم الطريقة المباشرة لـ LC).

   $Y(s)=\frac{As}{s^2+1}+\frac{Bs}{s^2+9}$.

   كل حد يمثل دائرة توالي LC موصلة على التوازي.20

---

4.3 توليف شبكات RC و RL (الشبكات المبددة)

هنا تختلف القواعد قليلاً لأن الطاقة تتبدد. الأقطاب والأصفار تقع على المحور الحقيقي السالب.

خصائص هامة للمقارنة (جدول الحفظ):

الخاصية	شبكة RC (Impedance)	شبكة RL (Admittance)
موقع الأقطاب/الأصفار	المحور الحقيقي السالب	المحور الحقيقي السالب
التبادل (Interlacing)	0 $\to$ قطب $\to$ صفر $\to$ قطب	0 $\to$ صفر $\to$ قطب $\to$ صفر
عند التردد الصفري ($s=0$)	ممانعة عالية (سلوك مكثف) $Z(0)>Z(\infty )$	مسايرة منخفضة
أقرب نقطة للأصل	يجب أن تكون قطباً ($1/s$)	يجب أن تكون صفراً (Inductor short at DC)

الوصفة السحرية لتوليف RC (Foster Forms):

Foster Form I (RC):

توسيع الممانعة $Z(s)$ مباشرة.

$Z_{RC}(s)=R_{\infty }+\frac{K_0}{s}+\sum \frac{K_i}{s+{\sigma }_i}$

• $R_{\infty }$: مقاومة توالي.

• $\frac{K_0}{s}$: مكثف توالي ($C=1/K_0$).

• $\frac{K_i}{s+{\sigma }_i}$: هذا الشكل يمثل توازياً بين مقاومة ($R=K_i/{\sigma }_i$) ومكثف ($C=1/K_i$).

مثال تفصيلي (من الوثائق):

توليف الدالة: $Z(s)=\frac{2(s+2)(s+4)}{(s+1)(s+3)}$.

1. الخطوة 1: فحص الدرجة: البسط $s^2$ والمقام $s^2$. نقسم البسط على المقام لاستخراج الثابت.

   $Z(s)=2+\frac{\text{remainder}}{(s+1)(s+3)}$.

2. الخطوة 2: الكسور الجزئية:

   بعد الحسابات: $Z(s)=2+\frac{3}{s+1}+\frac{1}{s+3}$.

3. الخطوة 3: التفسير الفيزيائي:

   • الحد 2: مقاومة $2\Omega$ على التوالي.

   • الحد 3/(s+1): شبكة توازي. المقاومة $R=3/1=3\Omega$. المكثف $C=1/3F$.

   • الحد 1/(s+3): شبكة توازي. المقاومة $R=1/3\Omega$. المكثف $C=1/1=1F$.

   • جميع هذه المكونات (المقاومة والشبكتين) توصل على التوالي.2

Foster Form II (RC):

توسيع المسايرة $Y(s)$. لكن حذارِ!

• قاعدة ذهبية: في شبكات RC، بقايا (Residues) دالة المسايرة $Y(s)$ في الكسور الجزئية قد تكون سالبة، وهذا لا يمكن تحقيقه فيزيائياً.

• الحل: نقسم على $s$ أولاً. نوسع الدالة $\frac{Y(s)}{s}$، ثم نضرب الناتج النهائي في $s$.

  $\frac{Y_{RC}(s)}{s}=\frac{K_0}{s}+K_{\infty }+\sum \frac{K_i}{s+{\sigma }_i}$

  بضرب المعادلة في $s$:

  $Y_{RC}(s)=K_0+K_{\infty }s+\sum \frac{K_{i}s}{s+{\sigma }_i}$

• $K_0$: توصيلية (Conductance) $\to$ مقاومة توازي $R=1/K_0$.

• $K_{\infty }s$: مكثف توازي $C=K_{\infty }$.

• $\frac{K_{i}s}{s+{\sigma }_i}$: هذا الحد يمثل فرعاً يحتوي على مقاومة ومكثف موصلين على التوالي ($R=1/K_i$, $C=K_i/{\sigma }_i$)، والفرع كله موصل توازياً مع الدائرة.2

---

4.4 طرق كاور (Cauer Forms) - السلم (Ladder Networks)

بينما تعتمد طرق فوستر على الكسور الجزئية (توصيل توازي/توالي للشبكات الفرعية)، تعتمد طرق كاور على الكسور المستمرة (Continued Fractions)، مما ينتج شبكة على شكل سلم (Ladder).

• Cauer I: تعتمد على إزالة الأقطاب عند اللانهاية. نقوم بترتيب البسط والمقام تنازلياً (من أكبر أس إلى الأصغر) ونقوم بالقسمة المطولة المتكررة.

  • العنصر الأول في $Z_{LC}$ يكون ملفاً على التوالي، يليه مكثف توازي، ثم ملف توالي… وهكذا.

• Cauer II: تعتمد على إزالة الأقطاب عند الصفر. نقوم بترتيب البسط والمقام تصاعدياً (من الحد الثابت إلى أكبر أس).

  • العنصر الأول في $Z_{LC}$ يكون مكثفاً على التوالي، يليه ملف توازي… وهكذا.19

---

5. الخاتمة ونصائح للتفوق

لتحقيق الدرجة الكاملة في هذا المقرر، يجب عليك:

1. عدم الاكتفاء بالحل الرياضي: دائماً ارسم الدائرة النهائية بوضوح واكتب قيم العناصر ووحداتها ($\Omega ,F,H$) على الرسم.

2. التحقق من المنطق: في دوائر RC، إذا ظهرت لك قيمة مكثف سالبة أو مقاومة سالبة، فاعلم أنك أخطأت في اختيار طريقة التوسيع (غالباً نسيت القسمة على $s$ في Foster II).

3. فهم راوث: لا تحفظ الحالات الخاصة فقط، بل افهم ماذا تعني. صف الأصفار يعني تذبذباً، والصفر الأول يعني عدم استقرار محتمل.

هذا المرجع يغطي الجوانب النظرية والتطبيقية بعمق، وهو مصمم ليكون رفيقك في ليلة الامتحان وما بعدها في حياتك الهندسية. بالتوفيق!