_شرح الارتباط بأسلوب مبسط

Gemini Replied:

أهلاً بك يا زميل (بما أنك Academic Secretary للدفعة 37، فهذا الدفتر سيفيدك جداً في تنظيم أفكار الدفعة).

إليك دفتر مذاكرة شامل وتفصيلي (Master Note) يحتوي على كل حرف ومعلومة وقانون ورد في ملف المحاضرة، مرتباً بشكل أكاديمي يغنيك عن الرجوع للملف الأصلي.

---

📚 دفتر محاضرات: الإحصاء والاحتمالات (Statistics & Probability)

الموضوع: الارتباط والانحدار (Correlation & Regression) المحاضر: د. محمد فطور زيد البريد الإلكتروني: fatorzaid@gmail.com

+1

---

1️⃣ المفاهيم النظرية الأساسية (Basic Concepts)

تعريف الارتباط (Correlation)

• هو قوة العلاقة بين متغيرين، وهو أحد أنواع العلاقات بين المتغير التابع والمستقل.

• تتحدد مشاهدات المتغير التابع في ضوء المتغير المستقل.

المتغيرات (Variables)

• المتغير المستقل ( $x$ ): هو المتغير المؤثر (الذي نرصد تغيره).

  +1

• المتغير التابع ( $y$ ): هو المتغير الذي يتأثر (الذي نتنبأ بتغيره بناءً على $x$ ).

  +1

أهمية الارتباط

• يستعمل للتنبؤ والتخطيط.

• يتم رصد التغير في الظاهرة المستقلة لنتنبأ بالتغير المتوقع في الظاهرة التابعة.

---

2️⃣ التمثيل البياني: شكل الانتشار (Scatter Plot)

• التعريف: هو التمثيل البياني لتوضيح العلاقة بين المتغيرين، ويكون برصد النقاط على المحورين الأفقي ( $x$ ) والعمودي ( $y$ ).

• الملاحظة الهامة: إذا كانت جميع نقاط رسم الانتشار تقع على خط مستقيم، فهذا يعني أن الارتباط تام وقيمته تساوي $\pm 1$ .

---

3️⃣ معامل الارتباط (Correlation Coefficient - $r$ )

هو مقياس رقمي لقوة الارتباط، وله خصائص ومعايير محددة:

أ.

حدود القيمة (Range)

قيمة معامل الارتباط لا تتجاوز $1$ ولا تقل عن $-1$ :

$$-1\le r\le 1$$

ب.

تصنيف قوة واتجاه العلاقة

1. من حيث القوة: تزداد قوة الارتباط كلما اقتربنا من الأطراف ( $1$ أو $-1$ )، وتقل وتضعف كلما اقتربنا من الصفر ( $0$ ).

2. من حيث الاتجاه:

   • القيم الموجبة ( $0$ إلى $1$ ): علاقة طردية (Positive).

   • القيم السالبة ( $-1$ إلى $0$ ): علاقة عكسية (Negative).

ج.

جدول تفسير قيم $r$ بالتفصيل

قيمة المعامل (r)	نوع الارتباط	الوصف
1	طردي تام	علاقة موجبة مطلقة.
−1	عكسي تام	علاقة سالبة مطلقة.
0	منعدم	لا توجد علاقة أو ارتباط.
0.5إلى1	طردي قوي	كلما اقترب من 1 زاد القوة.
−1إلى−0.5	عكسي قوي	كلما اقترب من -1 زاد القوة.
بين−0.5و0.5	ضعيف	المنطقة حول الصفر تعتبر ضعيفة.

Export to Sheets

---

4️⃣ طرق حساب معامل الارتباط (Calculation Methods)

يوجد عالمين (طريقتين) لقياس الارتباط:

أولاً: معامل ارتباط بيرسون (Pearson) - $r_b$

• الاستخدام: يختص بـ “ارتباط العزوم” وهو الارتباط الأقوى. يستخدم للبيانات الكمية الدقيقة.

• القوانين: له قانونان:

القانون الأول (بدلالة الانحرافات):

$$r_b=\frac{\Sigma \left(\left(x-x\right)\left(y-y\right)\right)}{n.\delta x.\delta y}$$

• $x,y$ : الوسط الحسابي للمتغيرين.

• $n$ : عدد المفردات.

• $\delta x,\delta y$ : الانحراف المعياري، ويحسب كالتالي:

*    $\delta x=\sqrt{\frac{\Sigma x^{2}}{n}−x^{2}}$ 

*    $\delta y=\sqrt{\frac{\Sigma y^{2}}{n}−y^{2}​}$ 
    

القانون الثاني (الصيغة المباشرة):

$$r_b=\frac{\Sigma x.y-n.x.y}{\sqrt{\Sigma x^2-n.x^2}.\sqrt{\Sigma y^2-n.y{}^2}}$$

(ملاحظة: تم كتابة القانون بصيغة رياضية واضحة بناءً على الرموز في الملف)

---

ثانياً: معامل ارتباط سبيرمان (Spearman) - $r_s$

• الاستخدام: يختص بـ “ارتباط الرتب” ويستخدم إذا توفرت رتب المشاهدات فقط (أو للبيانات التي يسهل ترتيبها).

• القانون:

  $$r_s=1-\frac{6.\Sigma f^2}{n\left(n^2-1\right)}$$

• الرموز:

  • $f$ : الفرق بين رتبة $x$ ورتبة $y$ (Rank x - Rank y).

  • $n$ : عدد الأزواج.

💡 قاعدة هامة جداً في الرتب (Ranking Rule): عند ترتيب البيانات، إذا تكررت قيمة (مثلاً رقم ظهر مرتين أو ثلاثة)، لا نمنحهم رتباً مختلفة متتالية، بل نحسب الوسط الحسابي لترتيبهم ونعطيه لكل القيم المتشابهة.

---

5️⃣ أمثلة تطبيقية من المحاضرة (Solved Examples)

مثال (1): حساب بيرسون

البيانات:

• $x$ : 5, 4, 3, 2, 1

• $y$ : -5, -6, -4, -1, 1

خطوات الحل:

1. حساب الوسط الحسابي: $x=3$ ، $y=-3$ .

2. إنشاء جدول لحساب: $\left(x-x\right)$ ، $\left(y-y\right)$ ، ومربعات $x$ و $y$ .

3. حساب الانحراف المعياري: $\delta x=\sqrt{2}$ ، $\delta y=\sqrt{6.8}$ .

4. تطبيق القانون الأول:

   $$r_b=\frac{-12}{5\times \sqrt{2}\times \sqrt{6.8}}=-0.95$$

   النتيجة: ارتباط عكسي قوي.

---

مثال (2): حساب سبيرمان

البيانات:

• $x$ : قيم عشوائية (9, 11, 5, …).

• $y$ : قيم بالمئات (150, 160, 120, …).

خطوات الحل:

1. ترتيب $x$ تنازلياً وتحديد الرتب (لا يوجد تكرار).

2. ترتيب $y$ تنازلياً وتحديد الرتب (يوجد تكرار للقيم 160 و 150).

   • توضيح التكرار: القيمة 160 احتلت المركزين 3 و 4، إذن رتبتها $\frac{3+4}{2}=3.5$ .

   • القيمة 150 احتلت المراكز 5 و 6 و 7، إذن رتبتها $\frac{5+6+7}{3}=6$ .

3. إنشاء جدول لحساب الفرق $f$ ومربع الفرق $f^2$ .

4. المجموع $\Sigma f^2=4.5$ .

5. تطبيق القانون:

   $$r_s=1-\frac{6\times 4.5}{9\left(81-1\right)}=0.963$$

   النتيجة: ارتباط طردي قوي.

---

6️⃣ الواجبات المنزلية (Assignments)

+4

مطلوب منك حل الآتي في كراسك:

1. على مثال بيرسون: أعد حل المثال السابق باستخدام قانون بيرسون الثاني وعلق على النتيجة.

2. على مثال سبيرمان: أعد حل المثال السابق باستخدام قانون بيرسون (الأول والثاني) وعلق على النتيجة.

Sources

---