التروس

التعريفات

بناءً على الملف المرفق (الفصل الحادي عشر: التروس الأسطوانية العدلة Spur Gearing)، قمت بتجميع كافة التعريفات والمصطلحات الأساسية الواردة فيه، مرتبة حسب الموضوع:

1. الأبعاد والقياسات الأساسية للترس

• أقطار دائرة الخطوة (Pitch circle diameters): هي أقطار الأقراص التخيلية التي تنقل السرعة بالاحتكاك بنفس النسبة التي تنقل بها باستخدام العجلات المسننة أو التروس.
• نقطة الخطوة (Pitch point): هي نقطة تماس دائرتي الخطوة بين ترسين متعاشقين.
• الخطوة الدائرية (Circular pitch - p): هي البعد المقاس على دائرة الخطوة بين أي نقطة على إحدى الأسنان والنقطة المناظرة لها على سنة مجاورة.
  • المعادلة: $p=\frac{\pi D}{T}$.
• الخطوة القطرية (Diametral pitch - P): هي عدد الأسنان لكل مليمتر في قطر دائرة الخطوة.
  • المعادلة: $P=\frac{T}{D}$.
• المقنن (Module - m): هو عدد المليمترات من قطر دائرة الخطوة لكل سنة (وهو مقلوب الخطوة القطرية).
  • العلاقة القياسية: $m=\frac{1}{P}$.
• دائرة الأساس (Base circle): هي الدائرة التي يبدأ منها رسم منحنيات “الأنفوليوت” (Involute) التي تتشكل منها جانية السنة.

2. أبعاد السن (Tooth Dimensions)

• طرف السنة (Addendum): هو المسافة الشعاعية المقاسة من دائرة الخطوة إلى قمة السنة (دائرة الطرف) في اتجاه نصف القطر.
• جذر السنة (Dedendum): هو عمق السنة تحت دائرة الخطوة في اتجاه نصف القطر (المسافة إلى دائرة الجذر).
• عمق التشغيل (Working depth): هو مجموع طر في السنتين المتعا شقتين (طرف الترس + طرف العجلة).

3. زوايا وخطوط الحركة

• زاوية الضغط أو زاوية الميل (Pressure angle - $\psi$): هي الزاوية المحصورة بين العمود المشترك على سنتين متماستين والمماس المشترك لدائرتي الخطوة.
• خط التماس أو خط الضغط (Line of Contact / Pressure): هو الخط الذي يمر بنقاط التماس بين الأسنان، وتقع عليه القوة المؤثرة بين السنتين في غياب الاحتكاك.
• سرعة الانزلاق (Velocity of sliding): هي سرعة سنة بالنسبة للسنة المتزاوجة معها في اتجاه المماس المشترك عند نقطة التماس. وتصل أقصى قيمة لها عند بداية التماس ونهايته.

4. التلامس والتعشيق (Contact & Engagement)

• مسير أو ممر التماس (Path of contact): هو الخط الفعلي الذي يتم عليه التلامس بين الأسنان (القطعة المستقيمة AB في الرسم)، وينقسم إلى “ممر الاقتراب” و”ممر الانحسار”.
• قوس التماس (Arc of contact): هو القوس على دائرة الخطوة المحصور بين وضعي سنة عند بداية ونهاية تلامسها مع السنة المتزاوجة معها. وينقسم إلى “قوس الاقتراب” و”قوس الانحسار”.
• نسبة التماس (Contact ratio): هي عدد الأزواج من الأسنان المتماسة في وقت واحد، وتحسب بقسمة قوس التماس على الخطوة الدائرية.
• التداخل (Interference): هي ظاهرة سلبية تحدث عندما يكون طرف سنة ما أكبر من اللازم، مما يؤدي لحدوث تماس مع الجزء غير الأنفوليوتي من السنة المقابلة (تحت دائرة الأساس)، مما يسبب نحراً سفلياً في السنة.
• الجريدة المسننة (Rack): يمكن اعتبارها كعجلة (ترس) ذات نصف قطر غير محدود (لانهائي)، حيث تكون جانبية السنة مستقيمة ومتعامدة مع خط التماس.

هل ترغب في استخراج القوانين الرياضية المرتبطة بهذه التعريفات (مثل قوانين منع التداخل أو حساب طول قوس التماس)؟

---

القوانين

إليك تجميع شامل للقوانين والمعادلات الرياضية الواردة في الفصل الحادي عشر (التروس الأسطوانية العدلة)، مصنفة حسب وظيفتها:

1. قوانين الأبعاد والمقننات الأساسية

تستخدم هذه القوانين لتحديد أبعاد الترس والعلاقة بين عدد الأسنان والقطر.

• الخطوة الدائرية ($p$): $p=\frac{\pi D}{T}=\frac{\pi d}{t}$ حيث $D,d$ أقطار دوائر الخطوة، و $T,t$ عدد الأسنان.
• الخطوة القطرية ($P$): $P=\frac{T}{D}=\frac{t}{d}$ .
• المقنن ($m$): $m=\frac{D}{T}=\frac{1}{P}$ .
• نسبة السرعة: $\frac{\Omega }{\omega }=\frac{d}{D}=\frac{t}{T}$ حيث $\Omega ,\omega$ السرعات الزاوية للعجلة والترس الصغير.

النسب القياسية (Standard Proportions):

• طرف السنة (Addendum) = $m=\frac{1}{P}$.
• جذر السنة (Dedendum) = $1.25m=\frac{1.25}{P}$.
• عمق التشغيل = $2m$.

2. قوانين التماس (Contact Formulas)

تستخدم لحساب طول الفترة التي تظل فيها الأسنان متلامسة. نفرض أن $R,r$ هما أنصاف أقطار دوائر الخطوة، و $R_a,r_a$ هما أنصاف أقطار الدوائر الطرفية (Addendum circles)، و $\psi$ هي زاوية الضغط.

• طول ممر الاقتراب (Path of Approach - AP): $AP=\sqrt{R_a^2-R^2{\cos }^2\psi }-R\sin \psi$ .
• طول ممر الانحسار (Path of Recess - PB): $PB=\sqrt{r_a^2-r^2{\cos }^2\psi }-r\sin \psi$ .
• طول ممر التماس الكلي (Path of Contact - AB): $AB=AP+PB$ .
• طول قوس التماس (Arc of Contact): $\text{قوس التماس}=\frac{\text{ممر التماس (AB)}}{\cos \psi }$ حيث ينطبق نفس القانون على قوس الاقتراب وقوس الانحسار بقسمة الممر المناظر على $\cos \psi$.
• نسبة التماس (Contact Ratio): $\text{نسبة التماس}=\frac{\text{قوس التماس}}{\text{الخطوة الدائرية (p)}}$ .

3. قوانين السرعة والانزلاق

• شرط نقل السرعة بنسبة ثابتة: $\frac{\omega }{\Omega }=\frac{O_{2}P}{O_{1}P}$ أي أن العمود المشترك عند نقطة التماس يجب أن يمر بنقطة الخطوة $P$.
• سرعة الانزلاق (Velocity of Sliding): عند أي نقطة تماس $C$ تبعد مسافة $PC$ عن نقطة الخطوة: $V_s=(\omega +\Omega )PC$ .

4. قوانين التداخل (Interference)

تستخدم لتحديد الحدود القصوى لأبعاد الأسنان لتجنب النحر السفلي.

• أقصى نصف قطر لطرف العجلة ($R_a$) لتجنب التداخل: $R_a\le \sqrt{R^2+2Rr{\sin }^2\psi +r^2{\sin }^2\psi }$ .
• أقصى طول لطرف السنة (Addendum) للعجلة: $\text{Addendum}\le \sqrt{R^2+2Rr{\sin }^2\psi +r^2{\sin }^2\psi }-R$ .
• أقل عدد أسنان للترس الأصغر ($t$) لتجنب التداخل (مع عجلة): $t\ge \frac{2}{\sqrt{\frac{1}{4}{G}^2+(1+2G){\sin }^2\psi }-G}$ حيث $G$ هي نسبة السرعة ($T/t$).

5. قوانين الجريدة المسننة (Rack and Pinion)

حالات خاصة عندما يكون أحد التروس جريدة (نصف قطر لانهائي).

• ممر الاقتراب (للجريدة): $AP=a\csc \psi$ حيث $a$ هو طرف سنة الجريدة.
• ممر الانحسار (للجريدة): $PB=\sqrt{r_a^2-r^2{\cos }^2\psi }-r\sin \psi$ .
• شرط منع التداخل (أقصى طرف سنة للجريدة): $a\le r{\sin }^2\psi$ .
• أقل عدد أسنان للترس ($t$) ليعمل مع جريدة دون تداخل: $t\ge \frac{2}{{\sin }^2\psi }$ (وفي حالة الزاوية $20^{\circ }$ يكون أقل عدد 18 سناً تقريباً) .

---